同济高数 第3章 第3-3-2题
📝 题目
2．应用麦克劳林公式，按 $x$ 的幂展开函数 $f(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right)^{3}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求将函数 $ f(x) = (x^2 - 3x + 1)^3 $ 按 $ x $ 的幂展开，即求其麦克劳林展开式。
由于这是一个多项式函数，最高次数为 $ 2 \times 3 = 6 $，因此展开结果就是它本身按幂整理的形式，不需要截断近似。
步骤1：展开立方
设 $ t = x^2 - 3x + 1 $，则
$$
f(x) = t^3 = (x^2 - 3x + 1)^3
$$
我们先计算平方再乘一次：
先算
$$
(x^2 - 3x + 1)^2 = x^4 + 9x^2 + 1 - 6x^3 + 2x^2 - 6x
$$
仔细计算：
$$
(x^2 - 3x + 1)^2 = (x^2)^2 + (-3x)^2 + 1^2 + 2(x^2)(-3x) + 2(x^2)(1) + 2(-3x)(1)
$$
即
$$
= x^4 + 9x^2 + 1 - 6x^3 + 2x^2 - 6x
$$
合并 $ x^2 $ 项：$ 9x^2 + 2x^2 = 11x^2 $，所以
$$
(x^2 - 3x + 1)^2 = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x + 1
$$
**步骤2：再乘一次 $ (x^2 - 3x + 1) $**
$$
f(x) = (x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x + 1)(x^2 - 3x + 1)
$$
逐项相乘：
- $ x^4 \cdot (x^2 - 3x + 1) = x^6 - 3x^5 + x^4 $
- $ -6x^3 \cdot (x^2 - 3x + 1) = -6x^5 + 18x^4 - 6x^3 $
- $ 11x^2 \cdot (x^2 - 3x + 1) = 11x^4 - 33x^3 + 11x^2 $
- $ -6x \cdot (x^2 - 3x + 1) = -6x^3 + 18x^2 - 6x $
- $ 1 \cdot (x^2 - 3x + 1) = x^2 - 3x + 1 $
步骤3：合并同类项
- $ x^6 $：$ 1x^6 $
- $ x^5 $：$ -3 - 6 = -9x^5 $
- $ x^4 $：$ 1 + 18 + 11 = 30x^4 $
- $ x^3 $：$ -6 - 33 - 6 = -45x^3 $
- $ x^2 $：$ 11 + 18 + 1 = 30x^2 $
- $ x^1 $：$ -6 - 3 = -9x $
- 常数项：$ 1 $
因此
$$
f(x) = x^6 - 9x^5 + 30x^4 - 45x^3 + 30x^2 - 9x + 1
$$
这就是麦克劳林展开（本身就是多项式，所以展开式就是本身）。
最终结果：
$$
\boxed{x^6 - 9x^5 + 30x^4 - 45x^3 + 30x^2 - 9x + 1}
$$
难度：★☆☆☆☆ （直接展开多项式，无难度）