同济高数 第3章 第3-4-11题

[AI解答]

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我们利用函数图形的凹凸性（即二阶导数符号）来证明这些不等式。
核心思想：若函数 $f(t)$ 在区间上是严格凸的，则对任意两点 $x\neq y$，有
$$
f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+f(y)}{2}.
$$
若函数是严格凹的，则不等号反向。

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（1）$\frac{1}{2}(x^n + y^n) > \left(\frac{x+y}{2}\right)^n,\quad x>0,y>0,x\neq y,n>1$

考虑函数 $f(t)=t^n$，定义域 $t>0$。
$$
f'(t)=n t^{n-1},\quad f''(t)=n(n-1)t^{n-2}.
$$
因为 $n>1$，所以 $n(n-1)>0$，且 $t^{n-2}>0$，故 $f''(t)>0$，函数严格凸。
由凸函数性质：
$$
\frac{f(x)+f(y)}{2} > f\left(\frac{x+y}{2}\right),
$$
即
$$
\frac{x^n+y^n}{2} > \left(\frac{x+y}{2}\right)^n.
$$
证毕。

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（2）$\frac{e^x+e^y}{2} > e^{\frac{x+y}{2}},\quad x\neq y$

取 $f(t)=e^t$，则
$$
f'(t)=e^t,\quad f''(t)=e^t>0,
$$
所以 $f(t)$ 严格凸。于是
$$
\frac{e^x+e^y}{2} > e^{\frac{x+y}{2}}.
$$
证毕。

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（3）$x\ln x + y\ln y > (x+y)\ln\frac{x+y}{2},\quad x>0,y>0,x\neq y$

考虑 $f(t)=t\ln t$，定义域 $t>0$。
$$
f'(t)=\ln t + 1,\quad f''(t)=\frac{1}{t}>0,
$$
所以 $f(t)$ 严格凸。由凸性：
$$
\frac{f(x)+f(y)}{2} > f\left(\frac{x+y}{2}\right),
$$
即
$$
\frac{x\ln x + y\ln y}{2} > \frac{x+y}{2}\ln\frac{x+y}{2}.
$$
两边乘以 2，得
$$
x\ln x + y\ln y > (x+y)\ln\frac{x+y}{2}.
$$
证毕。

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（4）$\sin x > \frac{2x}{\pi},\quad 0

考虑函数 $f(x)=\sin x$ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上。
$$
f''(x)=-\sin x < 0 \quad (0$$
所以 $f(x)$ 是严格凹函数。
凹函数满足：连接两端点的弦在函数图象下方。
两端点为 $(0,\sin 0)=0$ 和 $(\frac{\pi}{2},\sin\frac{\pi}{2})=1$，弦的方程为
$$
y = \frac{2}{\pi}x.
$$
由于严格凹，对任意 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$，有
$$
\sin x > \frac{2x}{\pi}.
$$
证毕。

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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察凸凹性定义及简单求导，思路直接，计算量小）