同济高数 第3章 第3-4-14题
📝 题目
14．试决定曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 中的 $a, b, c, d$ ，使得 $x=-2$ 处曲线有水平切线，$(1,-10)$ 为拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知曲线方程
$$
y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d
$$
需要确定系数 $a, b, c, d$，满足以下条件：
1. 在 $x = -2$ 处有水平切线，即
$$
y'(-2) = 0
$$
2. 点 $(1, -10)$ 为拐点，即
$$
y''(1) = 0
$$
且该点在曲线上：
$$
y(1) = -10
$$
3. 点 $(-2, 44)$ 在曲线上，即
$$
y(-2) = 44
$$
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第一步：求导数
一阶导数：
$$
y' = 3a x^{2} + 2b x + c
$$
二阶导数：
$$
y'' = 6a x + 2b
$$
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第二步：根据条件列方程
条件1：$x = -2$ 处水平切线
$$
y'(-2) = 3a(4) + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0 \quad (1)
$$
条件2：拐点在 $x = 1$
$$
y''(1) = 6a(1) + 2b = 6a + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a + b = 0 \quad (2)
$$
条件3：点 $(1, -10)$ 在曲线上
$$
y(1) = a + b + c + d = -10 \quad (3)
$$
条件4：点 $(-2, 44)$ 在曲线上
$$
y(-2) = a(-8) + b(4) + c(-2) + d = -8a + 4b - 2c + d = 44 \quad (4)
$$
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第三步：解方程组
由 (2) 得
$$
b = -3a
$$
代入 (1)：
$$
12a - 4(-3a) + c = 12a + 12a + c = 24a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -24a
$$
代入 (3)：
$$
a + (-3a) + (-24a) + d = a - 3a - 24a + d = -26a + d = -10
$$
所以
$$
d = 26a - 10 \quad (3')
$$
代入 (4)：
$$
-8a + 4(-3a) - 2(-24a) + d = -8a -12a + 48a + d = 28a + d = 44
$$
将 $d = 26a - 10$ 代入：
$$
28a + 26a - 10 = 44 \quad \Rightarrow \quad 54a = 54 \quad \Rightarrow \quad a = 1
$$
于是
$$
b = -3,\quad c = -24,\quad d = 26(1) - 10 = 16
$$
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第四步：结果
曲线方程为
$$
\boxed{y = x^{3} - 3x^{2} - 24x + 16}
$$
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难度：★★☆☆☆
（主要考察导数几何意义与解线性方程组，计算量不大，思路直接）