同济高数 第3章 第3-7-5题
📝 题目
5．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求对数曲线 $y = \ln x$ 上曲率半径最小的点，并求出该曲率半径。
曲线方程：$y = \ln x$，定义域 $x > 0$。
第一步：曲率公式
曲率公式为：
$$
K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}
$$
曲率半径：
$$
R = \frac{1}{K} = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{|y''|}
$$
第二步：求导
$$
y' = \frac{1}{x}, \quad y'' = -\frac{1}{x^2}
$$
由于 $x>0$，$|y''| = \frac{1}{x^2}$。
第三步：代入曲率半径公式
$$
R(x) = \frac{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2}}{\frac{1}{x^2}}
= x^2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2}
= x^2 \left(\frac{x^2 + 1}{x^2}\right)^{3/2}
= x^2 \cdot \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x^3}
= \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}
$$
**第四步：求 $R(x)$ 的最小值**
令 $f(x) = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}$，定义域 $x>0$。
取对数求导更方便，令：
$$
\ln f = \frac{3}{2} \ln(x^2+1) - \ln x
$$
对 $x$ 求导：
$$
\frac{f'}{f} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x}
= \frac{3x}{x^2+1} - \frac{1}{x}
$$
令 $f'(x)=0$：
$$
\frac{3x}{x^2+1} = \frac{1}{x}
$$
两边乘以 $x(x^2+1)$：
$$
3x^2 = x^2 + 1 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{1}{2}
$$
因为 $x>0$，得：
$$
x = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$
第五步：判断极值类型
当 $x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，例如 $x=0.5$，
$\frac{3x}{x^2+1} \approx \frac{1.5}{1.25}=1.2$，$\frac{1}{x}=2$，导数为负；
当 $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，例如 $x=1$，
$\frac{3}{2}=1.5$，$\frac{1}{1}=1$，导数为正。
因此 $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 为极小值点。
第六步：求该点坐标与曲率半径
该点横坐标 $x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$，纵坐标：
$$
y_0 = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2}\ln 2
$$
曲率半径：
$$
R_{\min} = \frac{\left( \frac{1}{2} + 1 \right)^{3/2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
= \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^{3/2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
= \left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} \cdot \sqrt{2}
= \frac{3^{3/2}}{2^{3/2}} \cdot 2^{1/2}
= \frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
最终答案：
点 $\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\; -\frac{1}{2}\ln 2\right)$ 处曲率半径最小，最小曲率半径为 $\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
难度：★★☆☆☆