同济高数 第3章 第3-7-4题

[AI解答]

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已知曲线的参数方程为：
$$
x = a \cos^3 t, \quad y = a \sin^3 t
$$
我们需要求在 $ t = t_0 $ 处的曲率。

第一步：求一阶导数

$$
x'(t) = a \cdot 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t
$$
$$
y'(t) = a \cdot 3 \sin^2 t \cdot \cos t = 3a \sin^2 t \cos t
$$

第二步：求二阶导数

$$
x''(t) = -3a \left[ 2\cos t (-\sin t) \sin t + \cos^2 t \cos t \right]
$$
更规范地计算：
$$
x'(t) = -3a \cos^2 t \sin t
$$
求导：
$$
x''(t) = -3a \left[ 2\cos t (-\sin t) \sin t + \cos^2 t \cos t \right]
= -3a \left[ -2\cos t \sin^2 t + \cos^3 t \right]
$$
即
$$
x''(t) = -3a (\cos^3 t - 2\cos t \sin^2 t)
$$

对于 $y'(t) = 3a \sin^2 t \cos t$，求导：
$$
y''(t) = 3a \left[ 2\sin t \cos t \cdot \cos t + \sin^2 t (-\sin t) \right]
= 3a \left[ 2\sin t \cos^2 t - \sin^3 t \right]
$$

第三步：曲率公式

对于参数方程，曲率公式为：
$$
\kappa = \frac{|x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)|}{\left[ (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right]^{3/2}}
$$

先计算分子：
$$
x'(t) y''(t) = (-3a \cos^2 t \sin t) \cdot 3a (2\sin t \cos^2 t - \sin^3 t)
$$
$$
= -9a^2 \cos^2 t \sin t (2\sin t \cos^2 t - \sin^3 t)
$$
$$
= -9a^2 \cos^2 t \sin t \cdot \sin t (2\cos^2 t - \sin^2 t)
$$
$$
= -9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (2\cos^2 t - \sin^2 t)
$$

再计算：
$$
x''(t) y'(t) = (-3a (\cos^3 t - 2\cos t \sin^2 t)) \cdot (3a \sin^2 t \cos t)
$$
$$
= -9a^2 \sin^2 t \cos t (\cos^3 t - 2\cos t \sin^2 t)
$$
$$
= -9a^2 \sin^2 t \cos t \cdot \cos t (\cos^2 t - 2\sin^2 t)
$$
$$
= -9a^2 \sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t - 2\sin^2 t)
$$

于是分子差为：
$$
x' y'' - x'' y' = -9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (2\cos^2 t - \sin^2 t) + 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t - 2\sin^2 t)
$$
提取公因式：
$$
= 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t \left[ - (2\cos^2 t - \sin^2 t) + (\cos^2 t - 2\sin^2 t) \right]
$$
括号内化简：
$$
-2\cos^2 t + \sin^2 t + \cos^2 t - 2\sin^2 t = -\cos^2 t - \sin^2 t = -1
$$
因此：
$$
x' y'' - x'' y' = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t \cdot (-1) = -9a^2 \cos^2 t \sin^2 t
$$
取绝对值：
$$
| x' y'' - x'' y' | = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t
$$

第四步：计算分母

$$
(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t
$$
$$
= 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t
$$

因此分母为：
$$
\left[ 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t \right]^{3/2} = (9a^2)^{3/2} |\cos t \sin t|^3 = 27 |a|^3 |\cos t \sin t|^3
$$

第五步：曲率表达式

$$
\kappa(t) = \frac{9a^2 \cos^2 t \sin^2 t}{27 |a|^3 |\cos t \sin t|^3}
= \frac{1}{3|a|} \cdot \frac{1}{|\cos t \sin t|}
$$

注意 $\cos t \sin t = \frac{1}{2} \sin 2t$，因此：
$$
\kappa(t) = \frac{1}{3|a|} \cdot \frac{2}{|\sin 2t|} = \frac{2}{3|a| |\sin 2t|}
$$

在 $t = t_0$ 处的曲率为：
$$
\boxed{\kappa(t_0) = \frac{2}{3|a| |\sin 2t_0|}}
$$

难度评级：★★★☆☆
（需要熟练运用参数方程曲率公式及三角恒等变形，计算稍复杂，但思路清晰）