同济高数 第3章 第3-7-3题
📝 题目
3．求抛物线 $y=x^{2}-4 x+3$ 在其顶点处的曲率及曲率半径．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知抛物线方程为
$$
y = x^{2} - 4x + 3.
$$
首先求顶点坐标。将方程配方：
$$
y = (x-2)^{2} - 1,
$$
因此顶点为 $(2, -1)$。
曲率公式为
$$
K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^{2}\right)^{3/2}}.
$$
先求一阶导数：
$$
y' = 2x - 4.
$$
在顶点 $x=2$ 处：
$$
y'(2) = 0.
$$
再求二阶导数：
$$
y'' = 2,
$$
为常数，因此在顶点处也有
$$
y''(2) = 2.
$$
代入曲率公式：
$$
K = \frac{|2|}{\left(1 + 0^{2}\right)^{3/2}} = 2.
$$
曲率半径为曲率的倒数：
$$
R = \frac{1}{K} = \frac{1}{2}.
$$
因此，抛物线在顶点处的曲率为 $2$，曲率半径为 $\displaystyle\frac{1}{2}$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求抛物线顶点坐标
将抛物线方程 y = x^2 - 4x + 3 配方，得到 y = (x-2)^2 - 1，因此顶点坐标为 (2, -1)。
公式：y = (x - h)^2 + k，顶点为 (h, k)
提示：配方时注意完全平方公式
步骤 2/5
目标：求一阶导数 y'
对 y = x^2 - 4x + 3 求导，得 y' = 2x - 4。在顶点 x=2 处，y'(2) = 0。
公式：y' = 2x - 4
提示：导数计算要准确
步骤 3/5
目标：求二阶导数 y''
对 y' = 2x - 4 求导，得 y'' = 2，为常数，因此在顶点处 y''(2) = 2。
公式：y'' = 2
提示：二阶导数可能为常数
步骤 4/5
目标：代入曲率公式计算曲率 K
曲率公式 K = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)。代入 y'(2)=0，y''(2)=2，得 K = |2| / (1+0)^(3/2) = 2。
公式：K = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)
提示：注意绝对值
步骤 5/5
目标：计算曲率半径 R
曲率半径 R = 1/K，代入 K=2，得 R = 1/2。
公式：R = 1/K
提示：曲率半径是曲率的倒数
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