同济高数 第3章 第3-7-2题
📝 题目
2．求曲线 $y=\ln \sec x$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率及曲率半径．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求曲线 $ y = \ln(\sec x) $ 在任意点 $(x, y)$ 处的曲率 $K$ 和曲率半径 $R$。
第一步：求一阶导数
$$
y' = \frac{d}{dx} \ln(\sec x) = \frac{1}{\sec x} \cdot \sec x \tan x = \tan x.
$$
第二步：求二阶导数
$$
y'' = \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x.
$$
第三步：曲率公式
平面曲线 $y = f(x)$ 的曲率为
$$
K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}}.
$$
代入 $y' = \tan x$，$y'' = \sec^2 x$，得
$$
K = \frac{|\sec^2 x|}{\left(1 + \tan^2 x\right)^{3/2}}.
$$
第四步：化简
利用三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$，有
$$
K = \frac{\sec^2 x}{(\sec^2 x)^{3/2}} = \frac{\sec^2 x}{|\sec^3 x|}.
$$
由于 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，在定义域内（$\cos x > 0$ 时）$\sec x > 0$，可去掉绝对值：
$$
K = \frac{\sec^2 x}{\sec^3 x} = \frac{1}{\sec x} = \cos x.
$$
第五步：曲率半径
曲率半径为曲率的倒数：
$$
R = \frac{1}{K} = \frac{1}{\cos x} = \sec x.
$$
最终结果：
$$
\boxed{K = \cos x,\quad R = \sec x}
$$
其中 $x$ 满足 $\cos x > 0$（即曲线定义域内）。
难度：★★☆☆☆