同济高数 第3章 第3-7-1题
📝 题目
1．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知椭圆方程：
$$
4x^{2} + y^{2} = 4
$$
首先化为标准形式：
$$
\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{4} = 1
$$
要求点 $(0,2)$ 处的曲率。
步骤1：隐函数求一阶导数
对方程两边关于 $x$ 求导：
$$
8x + 2y y' = 0
$$
解得
$$
y' = -\frac{4x}{y}
$$
在点 $(0,2)$ 处：
$$
y'(0) = -\frac{4\cdot 0}{2} = 0
$$
步骤2：求二阶导数
对 $8x + 2y y' = 0$ 两边再对 $x$ 求导：
$$
8 + 2(y')^{2} + 2y y'' = 0
$$
所以
$$
y'' = -\frac{8 + 2(y')^{2}}{2y} = -\frac{4 + (y')^{2}}{y}
$$
代入 $x=0, y=2, y'=0$：
$$
y''(0) = -\frac{4 + 0}{2} = -2
$$
步骤3：曲率公式
曲率公式为
$$
\kappa = \frac{|y''|}{\displaystyle{}\left(1 + (y')^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$
代入数值：
$$
\kappa = \frac{|-2|}{\displaystyle{}\left(1 + 0^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 2
$$
因此，椭圆在点 $(0,2)$ 处的曲率为 $2$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：隐函数求一阶导数
对方程 4x^2 + y^2 = 4 两边关于 x 求导，得 8x + 2y y' = 0，解得 y' = -4x/y。代入点 (0,2) 得 y'(0) = 0。
公式：8x + 2y y' = 0
提示：注意隐函数求导时，y 是 x 的函数，需对 y 项使用链式法则。
步骤 2/3
目标：求二阶导数
对 8x + 2y y' = 0 两边再对 x 求导，得 8 + 2(y')^2 + 2y y'' = 0，解得 y'' = -(4 + (y')^2)/y。代入 x=0, y=2, y'=0 得 y''(0) = -2。
公式：y'' = -(4 + (y')^2)/y
提示：求二阶导时，注意 (y y')' = (y')^2 + y y''。
步骤 3/3
目标：代入曲率公式计算
曲率公式 κ = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)。代入 y'=0, y''=-2，得 κ = |-2| / (1+0)^(3/2) = 2。
公式：κ = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)
提示：曲率公式中分母是 (1 + (y')^2) 的 3/2 次方，注意绝对值。
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