同济高数 第3章 第3-7-*6题
📝 题目
＊6．证明曲线 $\displaystyle y=a \operatorname{ch} \frac{x}{a}$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率半径为 $\displaystyle \frac{y^{2}}{a}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明曲线 $ y = a \operatorname{ch} \frac{x}{a} $ 在任意点 $(x, y)$ 处的曲率半径为 $\frac{y^2}{a}$，我们使用曲率半径公式。
首先，曲线方程是
$$
y = a \cosh\left( \frac{x}{a} \right)
$$
其中 $\cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$。
第一步：求一阶导数
$$
y' = \frac{dy}{dx} = a \cdot \sinh\left( \frac{x}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} = \sinh\left( \frac{x}{a} \right)
$$
因此
$$
y' = \sinh\left( \frac{x}{a} \right)
$$
第二步：求二阶导数
$$
y'' = \frac{d}{dx} \sinh\left( \frac{x}{a} \right) = \cosh\left( \frac{x}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cosh\left( \frac{x}{a} \right)
$$
第三步：曲率公式
曲率 $K$ 为
$$
K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}}
$$
代入 $y'$ 和 $y''$：
$$
1 + (y')^2 = 1 + \sinh^2\left( \frac{x}{a} \right) = \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right)
$$
因为恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$，所以 $1 + \sinh^2 t = \cosh^2 t$。
于是
$$
\left(1 + (y')^2\right)^{3/2} = \left( \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right) \right)^{3/2} = |\cosh\left( \frac{x}{a} \right)|^3
$$
由于 $\cosh t > 0$ 对所有实数 $t$ 成立，因此可以直接去掉绝对值：
$$
= \cosh^3\left( \frac{x}{a} \right)
$$
而
$$
|y''| = \frac{1}{a} \cosh\left( \frac{x}{a} \right)
$$
因此曲率
$$
K = \frac{\frac{1}{a} \cosh\left( \frac{x}{a} \right)}{\cosh^3\left( \frac{x}{a} \right)} = \frac{1}{a \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right)}
$$
第四步：曲率半径
曲率半径 $R$ 是曲率的倒数：
$$
R = \frac{1}{K} = a \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right)
$$
但由原曲线方程 $y = a \cosh\left( \frac{x}{a} \right)$，可得
$$
\cosh\left( \frac{x}{a} \right) = \frac{y}{a}
$$
因此
$$
\cosh^2\left( \frac{x}{a} \right) = \frac{y^2}{a^2}
$$
代入得
$$
R = a \cdot \frac{y^2}{a^2} = \frac{y^2}{a}
$$
证毕。
难度：★★☆☆☆