同济高数 第4章 第4-3-13题
📝 题目
13． $\displaystyle{\int} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x
$$
步骤1：使用分部积分法
设
$$
u = \ln^{2} x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \frac{2 \ln x}{x} \, \mathrm{d}x, \quad v = x
$$
分部积分公式：
$$
\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u
$$
代入得：
$$
\int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{2} x - \int x \cdot \frac{2 \ln x}{x} \, \mathrm{d}x
= x \ln^{2} x - 2 \int \ln x \, \mathrm{d}x
$$
**步骤2：再求 $\int \ln x \, \mathrm{d}x$**
同样用分部积分：
设
$$
u = \ln x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x, \quad v = x
$$
所以
$$
\int \ln x \, \mathrm{d}x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x
= x \ln x - \int 1 \, \mathrm{d}x = x \ln x - x + C
$$
步骤3：代回原式
$$
\int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{2} x - 2 \left( x \ln x - x \right) + C
$$
化简得：
$$
\int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{2} x - 2x \ln x + 2x + C
$$
因此最终结果为：
$$
\boxed{x \ln^{2} x - 2x \ln x + 2x + C}
$$
难度：★☆☆☆☆