同济高数 第4章 第4-3-15题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求不定积分：
$$
\int x^{2} \cos^{2} \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x
$$

第一步：利用三角恒等式降幂
由半角公式：
$$
\cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}
$$
因此原积分化为：
$$
\int x^{2} \cdot \frac{1 + \cos x}{2} \, \mathrm{d}x
= \frac{1}{2} \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \frac{1}{2} \int x^{2} \cos x \, \mathrm{d}x
$$

第二步：分别计算两个积分
第一个积分：
$$
\frac{1}{2} \int x^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6}
$$

第二个积分使用分部积分法。设：
$$
I = \int x^{2} \cos x \, \mathrm{d}x
$$
令 $ u = x^{2} $，$\mathrm{d}v = \cos x \, \mathrm{d}x$，则
$\mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x$，$v = \sin x$。
分部积分：
$$
I = x^{2} \sin x - \int 2x \sin x \, \mathrm{d}x
$$

再对 $\int x \sin x \, \mathrm{d}x$ 分部积分：
令 $ u = x $，$\mathrm{d}v = \sin x \, \mathrm{d}x$，则
$\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，$v = -\cos x$，
所以：
$$
\int x \sin x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x
$$

于是：
$$
I = x^{2} \sin x - 2\left( -x \cos x + \sin x \right) = x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x
$$

第三步：合并结果
原积分为：
$$
\frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2} \left( x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x \right) + C
$$
整理得：
$$
\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} \sin x + x \cos x - \sin x + C
$$

因此最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} \sin x + x \cos x - \sin x + C}
$$

难度：★★☆☆☆