同济高数 第4章 第4-3-20题
📝 题目
20． $\displaystyle{\int} \cos \ln x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分
$$
\int \cos(\ln x) \, dx.
$$
令 $ t = \ln x $，则 $ x = e^t $，且 $ dx = e^t \, dt $。
于是原积分化为
$$
\int \cos t \cdot e^t \, dt.
$$
这是一个典型的指数函数与三角函数的乘积积分，使用分部积分法。
设
$$
I = \int e^t \cos t \, dt.
$$
令
$$
u = \cos t, \quad dv = e^t dt,
$$
则
$$
du = -\sin t \, dt, \quad v = e^t.
$$
分部积分得
$$
I = e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) \, dt
= e^t \cos t + \int e^t \sin t \, dt.
$$
对 $\int e^t \sin t \, dt$ 再次分部积分：
令
$$
u = \sin t, \quad dv = e^t dt,
$$
则
$$
du = \cos t \, dt, \quad v = e^t.
$$
于是
$$
\int e^t \sin t \, dt = e^t \sin t - \int e^t \cos t \, dt = e^t \sin t - I.
$$
代入上式：
$$
I = e^t \cos t + \left( e^t \sin t - I \right).
$$
因此
$$
I = e^t \cos t + e^t \sin t - I,
$$
$$
2I = e^t (\cos t + \sin t),
$$
$$
I = \frac{e^t}{2} (\cos t + \sin t) + C.
$$
将 $ t = \ln x $ 代回，得
$$
\int \cos(\ln x) \, dx = \frac{x}{2} \bigl( \cos(\ln x) + \sin(\ln x) \bigr) + C.
$$
难度：★★☆☆☆