同济高数 第4章 第4-3-21题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分：
$$
\int (\arcsin x)^2 \, dx
$$

步骤1：换元
令 $ t = \arcsin x $，则 $ x = \sin t $，且 $ dx = \cos t \, dt $。
于是积分变为：
$$
\int t^2 \cos t \, dt
$$

步骤2：分部积分
设 $ u = t^2 $，$ dv = \cos t \, dt $，则 $ du = 2t \, dt $，$ v = \sin t $。
由分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
得：
$$
\int t^2 \cos t \, dt = t^2 \sin t - \int \sin t \cdot 2t \, dt
= t^2 \sin t - 2 \int t \sin t \, dt
$$

步骤3：再次分部积分
对 $ \int t \sin t \, dt $，令 $ u = t $，$ dv = \sin t \, dt $，则 $ du = dt $，$ v = -\cos t $。
于是：
$$
\int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt
= -t \cos t + \int \cos t \, dt
= -t \cos t + \sin t + C
$$

步骤4：回代
因此：
$$
\int t^2 \cos t \, dt = t^2 \sin t - 2(-t \cos t + \sin t) + C
= t^2 \sin t + 2t \cos t - 2\sin t + C
$$

步骤5：换回原变量
由于 $ t = \arcsin x $，有：
$$
\sin t = x,\quad \cos t = \sqrt{1 - x^2}
$$
所以：
$$
\int (\arcsin x)^2 \, dx = x (\arcsin x)^2 + 2 \arcsin x \cdot \sqrt{1 - x^2} - 2x + C
$$

最终结果为：
$$
\boxed{x (\arcsin x)^2 + 2 \sqrt{1 - x^2} \arcsin x - 2x + C}
$$

难度：★★☆☆☆