同济高数 第4章 第4-3-22题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分：
$$
\int e^x \sin^2 x \, dx
$$

第一步：利用三角恒等式降幂
由二倍角公式：
$$
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$$
所以原积分化为：
$$
\int e^x \sin^2 x \, dx = \frac12 \int e^x (1 - \cos 2x) \, dx = \frac12 \int e^x \, dx - \frac12 \int e^x \cos 2x \, dx
$$

第二步：计算两个部分
第一部分：
$$
\frac12 \int e^x \, dx = \frac12 e^x
$$

第二部分需要计算：
$$
I = \int e^x \cos 2x \, dx
$$
使用分部积分法（或直接利用公式）。令：
$$
u = \cos 2x,\quad dv = e^x dx
$$
则：
$$
du = -2\sin 2x \, dx,\quad v = e^x
$$
于是：
$$
I = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx
$$
再对 $\int e^x \sin 2x \, dx$ 分部积分，令：
$$
u = \sin 2x,\quad dv = e^x dx
$$
则：
$$
du = 2\cos 2x \, dx,\quad v = e^x
$$
得到：
$$
\int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2I
$$
代入上式：
$$
I = e^x \cos 2x + 2 \left( e^x \sin 2x - 2I \right) = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x - 4I
$$
移项：
$$
5I = e^x (\cos 2x + 2\sin 2x)
$$
所以：
$$
I = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2\sin 2x)
$$

第三步：代回原式
原积分：
$$
\int e^x \sin^2 x \, dx = \frac12 e^x - \frac12 \cdot \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2\sin 2x) + C
$$
整理：
$$
= \frac{e^x}{2} - \frac{e^x}{10} (\cos 2x + 2\sin 2x) + C
$$
也可以写成：
$$
= \frac{e^x}{10} \left(5 - \cos 2x - 2\sin 2x\right) + C
$$

最终答案：
$$
\boxed{\displaystyle \int e^x \sin^2 x \, dx = \frac{e^x}{10} \left(5 - \cos 2x - 2\sin 2x\right) + C}
$$

难度评级：★★☆☆☆
（主要用到三角降幂和两次分部积分，思路清晰，计算稍繁但无难点）