同济高数 第4章 第4-3-5题
📝 题目
5． $\displaystyle{\int} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x
$$
使用分部积分法，公式为：
$$
\displaystyle{\int} u \, \mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \, \mathrm{d}u
$$
令
$$
u = \ln x, \quad \mathrm{d}v = x^{2} \, \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x, \quad v = \displaystyle{\int} x^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3}
$$
代入分部积分公式：
$$
\displaystyle{\int} x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x
$$
化简第二项：
$$
= \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \displaystyle{\int} x^{2} \, \mathrm{d}x
$$
计算积分：
$$
\displaystyle{\int} x^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3}
$$
所以结果为：
$$
\frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} + C
$$
因此：
$$
\boxed{\displaystyle{\int} x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} + C}
$$
难度：★☆☆☆☆