同济高数 第4章 第4-3-4题

教材习题

📝 题目

4． $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x
$$

步骤1：识别方法
被积函数是 $x$ 与 $\mathrm{e}^{-x}$ 的乘积，适合使用分部积分法。分部积分公式为：
$$
\displaystyle{\int} u \,\mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \,\mathrm{d}u
$$

**步骤2：选择 $u$ 和 $\mathrm{d}v$**
令
$$
u = x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = -\mathrm{e}^{-x}
$$

步骤3：代入公式
$$
\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = x \cdot (-\mathrm{e}^{-x}) - \displaystyle{\int} (-\mathrm{e}^{-x}) \mathrm{~d}x
$$
化简得：
$$
= -x \mathrm{e}^{-x} + \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x
$$

步骤4：计算剩余积分
$$
\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = -\mathrm{e}^{-x}
$$
因此：
$$
= -x \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} + C
$$

步骤5：整理结果
$$
\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = -\mathrm{e}^{-x}(x + 1) + C
$$

难度：★☆☆☆☆
（这是基础的分部积分题，步骤简单，适合初学者练习。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：识别方法
被积函数是 x 与 e^{-x} 的乘积，适合使用分部积分法。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：当被积函数为多项式与指数函数乘积时，通常设多项式为 u。
步骤 2/5
目标：选择 u 和 dv
令 u = x, dv = e^{-x} dx，则 du = dx, v = -e^{-x}。
提示：注意 v 是 dv 的原函数，需正确积分。
步骤 3/5
目标：代入分部积分公式
∫ x e^{-x} dx = x * (-e^{-x}) - ∫ (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + ∫ e^{-x} dx。
提示：代入时注意符号。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分
∫ e^{-x} dx = -e^{-x}，所以原积分 = -x e^{-x} - e^{-x} + C。
公式：∫ e^{ax} dx = (1/a) e^{ax} + C
提示：指数函数积分公式中 a = -1。
步骤 5/5
目标：整理结果
提取公因子 -e^{-x}，得 -e^{-x}(x+1) + C。
提示：最终结果可写成 -e^{-x}(x+1) + C。

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