同济高数 第4章 第4-3-3题
📝 题目
3． $\displaystyle{\int} \arcsin x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
本题要求计算不定积分：
$$
\int \arcsin x \, \mathrm{d}x
$$
我们采用分部积分法。设
$$
u = \arcsin x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x, \quad v = x
$$
由分部积分公式
$$
\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u
$$
得到
$$
\int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x
$$
接下来计算
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x
$$
令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ \mathrm{d}t = -2x \, \mathrm{d}x $，即 $ x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \mathrm{d}t $，于是
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, \mathrm{d}t
$$
$$
= -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C
$$
代回原式：
$$
\int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x - \left( -\sqrt{1-x^2} \right) + C = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C
$$
因此结果为
$$
\boxed{x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C}
$$
难度：★★☆☆☆