同济高数 第4章 第4-3-24题
📝 题目
24． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sqrt{3 x+9}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分
$$
\int e^{\sqrt{3x+9}} \, dx.
$$
第一步：换元
令
$$
t = \sqrt{3x+9},
$$
则
$$
t^2 = 3x + 9 \quad\Rightarrow\quad 3x = t^2 - 9 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{t^2 - 9}{3}.
$$
对 $x$ 求微分：
$$
dx = \frac{2t}{3} \, dt.
$$
第二步：代入积分
原积分变为
$$
\int e^{t} \cdot \frac{2t}{3} \, dt = \frac{2}{3} \int t e^{t} \, dt.
$$
第三步：分部积分
令
$$
u = t,\quad dv = e^{t} dt,
$$
则
$$
du = dt,\quad v = e^{t}.
$$
于是
$$
\int t e^{t} dt = t e^{t} - \int e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + C.
$$
第四步：回代
因此
$$
\frac{2}{3} \int t e^{t} dt = \frac{2}{3} \bigl( t e^{t} - e^{t} \bigr) + C = \frac{2}{3} e^{t} (t - 1) + C.
$$
将 $t = \sqrt{3x+9}$ 代回，得
$$
\int e^{\sqrt{3x+9}} dx = \frac{2}{3} e^{\sqrt{3x+9}} \bigl( \sqrt{3x+9} - 1 \bigr) + C.
$$
最终结果
$$
\boxed{\displaystyle \frac{2}{3} e^{\sqrt{3x+9}} \left( \sqrt{3x+9} - 1 \right) + C}
$$
难度：★★☆☆☆