同济高数 第4章 第4-4-10题
📝 题目
10． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{4}-1} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{1}{x^{4}-1} \, \mathrm{d}x
$$
第一步：因式分解分母
由于
$$
x^{4} - 1 = (x^{2} - 1)(x^{2} + 1) = (x-1)(x+1)(x^{2}+1)
$$
第二步：部分分式分解
设
$$
\frac{1}{x^{4}-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx + D}{x^{2}+1}
$$
两边乘以 $x^{4}-1$ 得
$$
1 = A(x+1)(x^{2}+1) + B(x-1)(x^{2}+1) + (Cx+D)(x^{2}-1)
$$
第三步：求系数
令 $x=1$：
$$
1 = A(2)(2) \Rightarrow A = \frac{1}{4}
$$
令 $x=-1$：
$$
1 = B(-2)(2) \Rightarrow B = -\frac{1}{4}
$$
比较 $x^{3}$ 项系数：
左边无 $x^{3}$，右边为 $A + B + C = 0$，代入 $A,B$ 得
$$
\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + C = 0 \Rightarrow C = 0
$$
比较常数项：
左边常数项为1，右边常数项为 $A - B - D$，即
$$
\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) - D = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} - D = 1 \Rightarrow D = -\frac{1}{2}
$$
因此
$$
\frac{1}{x^{4}-1} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}
$$
第四步：分别积分
$$
\int \frac{1}{x^{4}-1} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}\int \frac{1}{x-1} \, \mathrm{d}x - \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+1} \, \mathrm{d}x - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^{2}+1} \, \mathrm{d}x
$$
得到
$$
= \frac{1}{4}\ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln|x+1| - \frac{1}{2}\arctan x + C
$$
第五步：合并对数项
$$
= \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{1}{2}\arctan x + C
$$
因此最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{1}{2}\arctan x + C}
$$
难度：★★☆☆☆