同济高数 第4章 第4-4-11题

[AI解答]

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我们要求不定积分：
$$
\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+x+1)}.
$$

第一步：有理函数分解
被积函数的分母是两个二次因式的乘积，且它们没有公因式，因此可设：
$$
\frac{1}{(x^2+1)(x^2+x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1}.
$$
两边乘以分母得：
$$
1 = (Ax+B)(x^2+x+1) + (Cx+D)(x^2+1).
$$

第二步：展开并比较系数
展开：
$$
(Ax+B)(x^2+x+1) = A x^3 + A x^2 + A x + B x^2 + B x + B
= A x^3 + (A+B)x^2 + (A+B)x + B,
$$
$$
(Cx+D)(x^2+1) = C x^3 + C x + D x^2 + D
= C x^3 + D x^2 + C x + D.
$$
相加得：
$$
1 = (A+C)x^3 + (A+B+D)x^2 + (A+B+C)x + (B+D).
$$

比较系数：
$$
\begin{cases}
x^3: & A+C = 0, \\
x^2: & A+B+D = 0, \\
x^1: & A+B+C = 0, \\
x^0: & B+D = 1.
\end{cases}
$$

由第一个方程得 $C = -A$。
代入第三个方程：$A+B - A = B = 0$，所以 $B=0$。
由第四个方程：$0 + D = 1$，得 $D=1$。
再由第二个方程：$A+0+1=0$，得 $A = -1$，从而 $C = 1$。

因此：
$$
\frac{1}{(x^2+1)(x^2+x+1)} = \frac{-x}{x^2+1} + \frac{x+1}{x^2+x+1}.
$$

第三步：分别积分
原积分化为：
$$
\int \frac{-x}{x^2+1} \, dx + \int \frac{x+1}{x^2+x+1} \, dx.
$$

第一个积分：
$$
\int \frac{-x}{x^2+1} dx = -\frac12 \int \frac{2x}{x^2+1} dx = -\frac12 \ln(x^2+1).
$$

第二个积分：将分母配方：
$$
x^2+x+1 = \left(x+\frac12\right)^2 + \frac34.
$$
分子拆开：
$$
\frac{x+1}{x^2+x+1} = \frac{x+\frac12}{x^2+x+1} + \frac{\frac12}{x^2+x+1}.
$$

第一部分的积分：
$$
\int \frac{x+\frac12}{x^2+x+1} dx = \frac12 \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \frac12 \ln(x^2+x+1).
$$

第二部分的积分：
$$
\int \frac{\frac12}{x^2+x+1} dx = \frac12 \int \frac{dx}{\left(x+\frac12\right)^2 + \frac34}
= \frac12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3/4}} \arctan\left( \frac{x+\frac12}{\sqrt{3/4}} \right)
= \frac12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)
= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right).
$$

第四步：合并结果
因此：
$$
\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+x+1)} = -\frac12 \ln(x^2+1) + \frac12 \ln(x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C.
$$

也可以写成：
$$
\boxed{\frac12 \ln\left( \frac{x^2+x+1}{x^2+1} \right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C}.
$$

难度：★★☆☆☆