同济高数 第4章 第4-4-12题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$

第一步：展开分子
$$
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
$$
所以被积函数为：
$$
\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}
$$

第二步：拆分为三个积分
$$
\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x + 2\int \frac{x}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x + \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x
$$

第三步：分别计算

1. 第一个积分：
注意到
$$
\frac{x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 1}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{(x^2+1)^2}
$$
所以
$$
\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x = \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x - \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x
$$

2. 第二个积分：
令 $u = x^2+1$，则 $\mathrm{d}u = 2x \mathrm{~d}x$，所以
$$
\int \frac{x}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2} \mathrm{~d}u = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(x^2+1)}
$$

3. 第三个积分：
已知公式
$$
\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C
$$
（可由分部积分或三角代换得到）

第四步：合并结果

将第一个积分拆开后，原积分变为：
$$
\left( \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x - \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x \right) + 2\left( -\frac{1}{2(x^2+1)} \right) + \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x
$$

注意 $-\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x$ 与最后的 $+\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x$ 抵消，于是剩下：
$$
\int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x - \frac{1}{x^2+1}
$$

而
$$
\int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x = \arctan x + C
$$

第五步：写出最终结果
$$
\boxed{\arctan x - \frac{1}{x^2+1} + C}
$$

难度评级：★★☆☆☆
（需要拆分技巧与常见积分公式，但计算量不大，思路清晰）