同济高数 第4章 第4-4-14题
📝 题目
14． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{3+\sin ^{2} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{dx}{3+\sin^2 x}
$$
步骤1：利用三角恒等式变形
由 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 或更常用的万能公式，这里我们采用将分母转化为只含 $\tan x$ 的形式。
因为
$$
\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}
$$
所以
$$
3 + \sin^2 x = 3 + \frac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}
= \frac{3(1+\tan^2 x) + \tan^2 x}{1+\tan^2 x}
= \frac{3 + 4\tan^2 x}{1+\tan^2 x}
$$
于是
$$
\frac{1}{3+\sin^2 x} = \frac{1+\tan^2 x}{3 + 4\tan^2 x}
$$
步骤2：换元
令 $t = \tan x$，则
$$
dt = \sec^2 x \, dx = (1+\tan^2 x) dx = (1+t^2) dx
$$
所以
$$
dx = \frac{dt}{1+t^2}
$$
代入积分：
$$
\int \frac{dx}{3+\sin^2 x}
= \int \frac{1+t^2}{3+4t^2} \cdot \frac{dt}{1+t^2}
= \int \frac{dt}{3+4t^2}
$$
步骤3：计算简化后的积分
$$
\int \frac{dt}{3+4t^2}
= \frac{1}{3} \int \frac{dt}{1 + \left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right)^2}
$$
令 $u = \frac{2t}{\sqrt{3}}$，则 $dt = \frac{\sqrt{3}}{2} du$，于是
$$
\frac{1}{3} \int \frac{dt}{1 + \left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right)^2}
= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \int \frac{du}{1+u^2}
= \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan u + C
$$
代回 $u = \frac{2t}{\sqrt{3}}$ 和 $t = \tan x$：
$$
\int \frac{dx}{3+\sin^2 x}
= \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan\left( \frac{2\tan x}{\sqrt{3}} \right) + C
$$
最终结果
$$
\boxed{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan\left( \frac{2\tan x}{\sqrt{3}} \right) + C}
$$
难度：★★☆☆☆