同济高数 第4章 第4-4-17题

[AI解答]

[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x}.
$$

步骤1：使用万能代换
令
$$
t = \tan\frac{x}{2},
$$
则
$$
\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt.
$$

步骤2：代入被积函数
分母为：
$$
1 + \sin x + \cos x = 1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}
= \frac{(1+t^2) + 2t + (1-t^2)}{1+t^2}
= \frac{2 + 2t}{1+t^2}.
$$
因此
$$
\frac{1}{1+\sin x+\cos x} = \frac{1+t^2}{2(1+t)}.
$$

步骤3：写出积分
$$
\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x}
= \int \frac{1+t^2}{2(1+t)} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt
= \int \frac{1}{1+t}\,dt.
$$

步骤4：积分并回代
$$
\int \frac{1}{1+t}\,dt = \ln|1+t| + C.
$$
将 $ t = \tan\frac{x}{2} $ 代回：
$$
\boxed{\ln\left|1+\tan\frac{x}{2}\right| + C}.
$$

难度评级：★★☆☆☆
（涉及万能代换，计算量较小，但需熟悉三角恒等变形）