同济高数 第4章 第4-4-24题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}
$$

第一步：化简被积函数

注意到根号是三次根号，因此我们可以将分母写成指数形式：
$$
\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}} = (x+1)^{\frac{2}{3}} (x-1)^{\frac{4}{3}}
$$
所以积分变为：
$$
\int (x+1)^{-\frac{2}{3}} (x-1)^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}x
$$

第二步：寻找合适的变量替换

观察到两个因子幂次不同，但分母次数之和为 $-\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -2$，可以考虑将表达式化为关于 $\frac{x-1}{x+1}$ 的形式。令：
$$
t = \frac{x-1}{x+1}
$$
则：
$$
x = \frac{1+t}{1-t}, \quad \mathrm{d}x = \frac{2}{(1-t)^2} \, \mathrm{d}t
$$

**第三步：用 $t$ 表示被积函数**

首先：
$$
x+1 = \frac{1+t}{1-t} + 1 = \frac{1+t + 1 - t}{1-t} = \frac{2}{1-t}
$$
$$
x-1 = \frac{1+t}{1-t} - 1 = \frac{1+t - (1-t)}{1-t} = \frac{2t}{1-t}
$$

于是：
$$
(x+1)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{1-t}\right)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}} (1-t)^{\frac{2}{3}}
$$
$$
(x-1)^{-\frac{4}{3}} = \left(\frac{2t}{1-t}\right)^{-\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{4}{3}} t^{-\frac{4}{3}} (1-t)^{\frac{4}{3}}
$$

相乘得：
$$
(x+1)^{-\frac{2}{3}}(x-1)^{-\frac{4}{3}} = 2^{-2} t^{-\frac{4}{3}} (1-t)^{2}
$$
因为 $-\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -2$，而 $2^{-\frac{2}{3} - \frac{4}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$。

第四步：代入积分

积分变为：
$$
\int \frac{1}{4} t^{-\frac{4}{3}} (1-t)^{2} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, \mathrm{d}t
$$
注意 $(1-t)^2$ 与分母 $(1-t)^2$ 约掉，剩下：
$$
\int \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot t^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int t^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}t
$$

第五步：积分计算

$$
\frac{1}{2} \int t^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{2} t^{-\frac{1}{3}} + C
$$

第六步：回代变量

由 $t = \frac{x-1}{x+1}$，得：
$$
t^{-\frac{1}{3}} = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{-\frac{1}{3}} = \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^{\frac{1}{3}}
$$
因此：
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}} = -\frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} + C
$$

最终结果：
$$
\boxed{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} + C}
$$

难度：★★☆☆☆