同济高数 第4章 第4-4-3题
📝 题目
3． $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{x^{2}-2 x+5} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+5} \, dx
$$
第一步：配方分母
分母 $x^{2} - 2x + 5$ 可以配方为：
$$
x^{2} - 2x + 5 = (x-1)^{2} + 4
$$
第二步：拆分分子
将分子写成与分母导数相关形式。分母的导数为：
$$
\frac{d}{dx}(x^{2} - 2x + 5) = 2x - 2
$$
我们希望分子中出现 $2x-2$ 的形式。将分子 $x+1$ 改写为：
$$
x+1 = \frac{1}{2}(2x-2) + 2
$$
因为：
$$
\frac{1}{2}(2x-2) = x - 1, \quad 再加上 2 得 x+1
$$
第三步：分解积分
于是原积分化为：
$$
\int \frac{x+1}{(x-1)^{2}+4} \, dx
= \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{(x-1)^{2}+4} \, dx + \int \frac{2}{(x-1)^{2}+4} \, dx
$$
第四步：分别积分
第一项：
$$
\frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{(x-1)^{2}+4} \, dx
= \frac{1}{2} \ln\left| (x-1)^{2}+4 \right| + C_1
$$
因为分母的导数正好是分子。
第二项：
$$
\int \frac{2}{(x-1)^{2}+4} \, dx
= 2 \int \frac{1}{(x-1)^{2}+2^{2}} \, dx
= 2 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left( \frac{x-1}{2} \right) + C_2
= \arctan\left( \frac{x-1}{2} \right) + C_2
$$
第五步：合并结果
因此：
$$
\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+5} \, dx
= \frac{1}{2} \ln\left( x^{2} - 2x + 5 \right) + \arctan\left( \frac{x-1}{2} \right) + C
$$
其中 $C$ 为任意常数。
难度评级：★★☆☆☆
（属于基础配方法结合反正切与对数积分，步骤清晰，计算量小。）