同济高数 第4章 第4-4-4题
📝 题目
4． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}+1\right)}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}+1\right)}.
$$
第一步：分解为部分分式
设
$$
\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1}.
$$
两边乘以分母 $x(x^2+1)$ 得：
$$
1 = A(x^2+1) + (Bx + C)x.
$$
展开：
$$
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x = (A+B)x^2 + C x + A.
$$
比较系数：
- 常数项：$A = 1$
- $x$ 项系数：$C = 0$
- $x^2$ 项系数：$A + B = 0 \Rightarrow 1 + B = 0 \Rightarrow B = -1$
因此：
$$
\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}.
$$
第二步：分别积分
$$
\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x(x^2+1)} = \displaystyle{\int} \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x - \displaystyle{\int} \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x.
$$
第一个积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln |x| + C_1.
$$
第二个积分：令 $u = x^2+1$，则 $\mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x$，于是
$$
\displaystyle{\int} \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \frac{1}{2} \ln |u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + C_2.
$$
第三步：合并结果
$$
\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x(x^2+1)} = \ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + C.
$$
也可写成：
$$
\ln \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}} + C.
$$
难度：★☆☆☆☆