同济高数 第4章 第4-4-5题

[AI解答]

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我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{3}{x^3+1} \, dx
$$

第一步：因式分解分母
利用立方和公式：
$$
x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)
$$
因此被积函数可写为：
$$
\frac{3}{x^3+1} = \frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)}
$$

第二步：部分分式分解
设：
$$
\frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}
$$
两边乘以分母得：
$$
3 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x+1)
$$
展开：
$$
3 = A x^2 - A x + A + B x^2 + B x + C x + C
$$
合并同类项：
$$
3 = (A + B) x^2 + (-A + B + C)x + (A + C)
$$
比较系数得方程组：
$$
\begin{cases}
A + B = 0 \\
-A + B + C = 0 \\
A + C = 3
\end{cases}
$$
由第一式得 $B = -A$，代入第二式：
$$
-A - A + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = 2A
$$
代入第三式：
$$
A + 2A = 3 \quad\Rightarrow\quad 3A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = 1
$$
于是：
$$
B = -1,\quad C = 2
$$
所以：
$$
\frac{3}{x^3+1} = \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2 - x + 1}
$$

第三步：分别积分
原积分化为：
$$
\int \frac{3}{x^3+1} \, dx = \int \frac{1}{x+1} \, dx + \int \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} \, dx
$$

第一部分：
$$
\int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln|x+1| + C_1
$$

第二部分处理：
对分母 $x^2 - x + 1$ 配方：
$$
x^2 - x + 1 = \left(x - \frac12\right)^2 + \frac34
$$
将分子 $-x+2$ 改写为：
$$
-x+2 = -\left(x - \frac12\right) + \frac32
$$
于是：
$$
\int \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} \, dx
= -\int \frac{x - \frac12}{x^2 - x + 1} \, dx + \frac32 \int \frac{1}{\left(x - \frac12\right)^2 + \frac34} \, dx
$$

第一个积分：令 $u = x^2 - x + 1$，则 $du = (2x - 1)dx = 2(x - \frac12)dx$，所以：
$$
\int \frac{x - \frac12}{x^2 - x + 1} \, dx = \frac12 \int \frac{du}{u} = \frac12 \ln|x^2 - x + 1|
$$

第二个积分：令 $t = x - \frac12$，则：
$$
\int \frac{1}{t^2 + \frac34} \, dt
= \frac{1}{\sqrt{3/4}} \arctan\left( \frac{t}{\sqrt{3/4}} \right)
= \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right)
$$
代回 $t = x - \frac12$：
$$
\frac32 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right)
= \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right)
$$

第四步：合并结果
因此：
$$
\int \frac{3}{x^3+1} \, dx = \ln|x+1| - \frac12 \ln|x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C
$$

最终答案为：
$$
\boxed{\displaystyle \ln|x+1| - \frac12 \ln(x^2 - x + 1) + \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C}
$$

难度：★★☆☆☆