同济高数 第4章 第4-5-15题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx
$$

步骤1：使用三角代换
令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且 $1+x^2 = 1+\tan^2 t = \sec^2 t$。
于是：
$$
\int \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx = \int \frac{1}{(\sec^2 t)^2} \cdot \sec^2 t \, dt
= \int \frac{1}{\sec^2 t} \, dt = \int \cos^2 t \, dt
$$

步骤2：降幂处理
利用恒等式 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，得：
$$
\int \cos^2 t \, dt = \int \frac{1+\cos 2t}{2} \, dt
= \frac{1}{2} \int dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t \, dt
= \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin 2t + C
$$

**步骤3：回代到 $x$**
由 $x = \tan t$，得 $t = \arctan x$。
又 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$，而：
$$
\sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \cos t = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
$$
所以：
$$
\sin 2t = 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{2x}{1+x^2}
$$

步骤4：写出最终结果
代入得：
$$
\int \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{1+x^2} + C
= \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + C
$$

因此：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + C}
$$

难度：★★☆☆☆