同济高数 第4章 第4-5-17题

[AI解答]

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我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{x}{(2+3x)^2} \, \mathrm{d}x.
$$

步骤1：变量代换
令 $ t = 2 + 3x $，则
$$
x = \frac{t-2}{3}, \quad \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \mathrm{d}t.
$$

步骤2：代入积分
原积分变为：
$$
\displaystyle{\int} \frac{\frac{t-2}{3}}{t^2} \cdot \frac{1}{3} \, \mathrm{d}t
= \frac{1}{9} \displaystyle{\int} \frac{t-2}{t^2} \, \mathrm{d}t.
$$

步骤3：拆分被积函数
$$
\frac{t-2}{t^2} = \frac{1}{t} - \frac{2}{t^2}.
$$
于是：
$$
\frac{1}{9} \displaystyle{\int} \left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^2} \right) \mathrm{d}t
= \frac{1}{9} \left( \displaystyle{\int} \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t - 2 \displaystyle{\int} t^{-2} \, \mathrm{d}t \right).
$$

步骤4：积分计算
$$
\displaystyle{\int} \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t = \ln|t|, \quad
\displaystyle{\int} t^{-2} \, \mathrm{d}t = -t^{-1}.
$$
因此：
$$
\frac{1}{9} \left( \ln|t| - 2(-t^{-1}) \right) + C
= \frac{1}{9} \left( \ln|t| + \frac{2}{t} \right) + C.
$$

步骤5：回代变量
将 $ t = 2 + 3x $ 代回：
$$
\frac{1}{9} \left( \ln|2+3x| + \frac{2}{2+3x} \right) + C.
$$

因此结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{9} \ln|2+3x| + \frac{2}{9(2+3x)} + C}.
$$

难度：★☆☆☆☆