同济高数 第4章 第4-5-18题
📝 题目
18． $\displaystyle{\int} \cos ^{6} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分
$$
\int \cos^6 x \, dx.
$$
步骤1：利用降幂公式
由二倍角公式：
$$
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.
$$
因此
$$
\cos^6 x = (\cos^2 x)^3 = \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} (1 + 3\cos 2x + 3\cos^2 2x + \cos^3 2x).
$$
步骤2：继续降幂
对于 $\cos^2 2x$：
$$
\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}.
$$
对于 $\cos^3 2x$，利用公式：
$$
\cos^3 \theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4},
$$
令 $\theta = 2x$，得
$$
\cos^3 2x = \frac{3\cos 2x + \cos 6x}{4}.
$$
步骤3：代入整理
将上面结果代入：
$$
\cos^6 x = \frac{1}{8}\left[ 1 + 3\cos 2x + 3\cdot\frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{3\cos 2x + \cos 6x}{4} \right].
$$
先处理括号内：
- 常数项：$1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$
- $\cos 2x$ 项：$3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$
- $\cos 4x$ 项：$\frac{3}{2}$
- $\cos 6x$ 项：$\frac{1}{4}$
于是
$$
\cos^6 x = \frac{1}{8}\left( \frac{5}{2} + \frac{15}{4}\cos 2x + \frac{3}{2}\cos 4x + \frac{1}{4}\cos 6x \right).
$$
乘以 $\frac{1}{8}$ 得：
$$
\cos^6 x = \frac{5}{16} + \frac{15}{32}\cos 2x + \frac{3}{16}\cos 4x + \frac{1}{32}\cos 6x.
$$
步骤4：逐项积分
$$
\int \cos^6 x \, dx = \int \left( \frac{5}{16} + \frac{15}{32}\cos 2x + \frac{3}{16}\cos 4x + \frac{1}{32}\cos 6x \right) dx.
$$
积分得：
$$
= \frac{5}{16}x + \frac{15}{32} \cdot \frac{\sin 2x}{2} + \frac{3}{16} \cdot \frac{\sin 4x}{4} + \frac{1}{32} \cdot \frac{\sin 6x}{6} + C.
$$
化简：
$$
= \frac{5}{16}x + \frac{15}{64}\sin 2x + \frac{3}{64}\sin 4x + \frac{1}{192}\sin 6x + C.
$$
最终结果
$$
\boxed{\displaystyle \frac{5}{16}x + \frac{15}{64}\sin 2x + \frac{3}{64}\sin 4x + \frac{1}{192}\sin 6x + C}.
$$
难度：★★☆☆☆
（主要考察三角降幂技巧与基本积分，计算量稍大但思路固定）