同济高数 第4章 第4-5-19题

[AI解答]

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我们要求不定积分：
$$
\int x^{2} \sqrt{x^{2}-2} \, \mathrm{d}x
$$

步骤1：三角代换
因为根号内有 $x^2 - 2$，考虑代换
$$
x = \sqrt{2} \sec t, \quad \mathrm{d}x = \sqrt{2} \sec t \tan t \, \mathrm{d}t
$$
且
$$
\sqrt{x^2 - 2} = \sqrt{2 \sec^2 t - 2} = \sqrt{2(\sec^2 t - 1)} = \sqrt{2 \tan^2 t} = \sqrt{2} |\tan t|
$$
在 $\displaystyle t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时 $\tan t > 0$，可去掉绝对值。

步骤2：代入化简
于是积分变为：
$$
\int (\sqrt{2} \sec t)^2 \cdot \sqrt{2} \tan t \cdot \sqrt{2} \sec t \tan t \, \mathrm{d}t
$$
先计算系数：
$x^2 = 2 \sec^2 t$，
$\sqrt{x^2-2} = \sqrt{2} \tan t$，
$\mathrm{d}x = \sqrt{2} \sec t \tan t \, \mathrm{d}t$。

乘积为：
$$
2 \sec^2 t \cdot \sqrt{2} \tan t \cdot \sqrt{2} \sec t \tan t
= 2 \cdot 2 \cdot \sec^3 t \tan^2 t
$$
因为 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$，所以系数是 $2 \times 2 = 4$，即：
$$
\int 4 \sec^3 t \tan^2 t \, \mathrm{d}t
$$

步骤3：化简三角函数
利用 $\tan^2 t = \sec^2 t - 1$，得：
$$
4 \int \sec^3 t (\sec^2 t - 1) \, \mathrm{d}t
= 4 \int (\sec^5 t - \sec^3 t) \, \mathrm{d}t
$$

**步骤4：计算 $\int \sec^3 t \, \mathrm{d}t$ 和 $\int \sec^5 t \, \mathrm{d}t$**
常用递推公式：
对于 $n \ge 3$，
$$
\int \sec^n t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec^{n-2} t \tan t}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} t \, \mathrm{d}t
$$

先求 $\int \sec^3 t \, \mathrm{d}t$：
取 $n=3$：
$$
\int \sec^3 t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec t \tan t}{2} + \frac{1}{2} \int \sec t \, \mathrm{d}t
$$
而 $\int \sec t \, \mathrm{d}t = \ln|\sec t + \tan t| + C$，所以：
$$
\int \sec^3 t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| + C
$$

再求 $\int \sec^5 t \, \mathrm{d}t$：
取 $n=5$：
$$
\int \sec^5 t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec^3 t \tan t}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^3 t \, \mathrm{d}t
$$
代入 $\int \sec^3 t$ 的结果：
$$
\int \sec^5 t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec^3 t \tan t}{4} + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| \right)
$$
即：
$$
\int \sec^5 t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{4} \sec^3 t \tan t + \frac{3}{8} \sec t \tan t + \frac{3}{8} \ln|\sec t + \tan t| + C
$$

步骤5：组合结果
原积分为：
$$
4 \left( \int \sec^5 t \, \mathrm{d}t - \int \sec^3 t \, \mathrm{d}t \right)
$$
代入：
$$
4 \left[ \left( \frac{1}{4} \sec^3 t \tan t + \frac{3}{8} \sec t \tan t + \frac{3}{8} \ln|\sec t + \tan t| \right) - \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| \right) \right]
$$
合并同类项：
$\sec^3 t \tan t$ 项系数：$\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$
$\sec t \tan t$ 项：$\displaystyle 4 \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \right) = 4 \left( \frac{3}{8} - \frac{4}{8} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{8} \right) = -\frac{1}{2}$
对数项：$\displaystyle 4 \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t|$

所以：
$$
\int x^2 \sqrt{x^2-2} \, \mathrm{d}x = \sec^3 t \tan t - \frac{1}{2} \sec t \tan t - \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| + C
$$

**步骤6：回代 $x$**
由 $x = \sqrt{2} \sec t$，得 $\displaystyle \sec t = \frac{x}{\sqrt{2}}$，
$\displaystyle \tan t = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \sqrt{\frac{x^2}{2} - 1} = \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}$。

于是：
$$
\sec^3 t \tan t = \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)^3 \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x^3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}?
$$
仔细计算：
$\displaystyle \sec^3 t = \frac{x^3}{(\sqrt{2})^3} = \frac{x^3}{2\sqrt{2}}$，乘以 $\displaystyle \tan t = \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}$，得：
$$
\frac{x^3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x^3 \sqrt{x^2-2}}{4}
$$
因为 $2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$。

下一项：$\displaystyle \sec t \tan t = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x \sqrt{x^2-2}}{2}$。

所以：
$$
\sec^3 t \tan t - \frac{1}{2} \sec t \tan t = \frac{x^3 \sqrt{x^2-2}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x \sqrt{x^2-2}}{2} = \frac{x^3 \sqrt{x^2-2}}{4} - \frac{x \sqrt{x^2-2}}{4}
$$
合并为：
$$
\frac{\sqrt{x^2-2}}{4} (x^3 - x) = \frac{x(x^2-1)\sqrt{x^2-2}}{4}
$$

而对数部分：
$\displaystyle \sec t + \tan t = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x + \sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}$，
所以：
$$
\ln|\sec t + \tan t| = \ln\left| \frac{x + \sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} \right| = \ln|x + \sqrt{x^2-2}| - \ln\sqrt{2}
$$
常数 $\displaystyle -\frac{1}{2}\ln\sqrt{2}$ 可并入常数 $C$。

因此最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{x(x^2-1)\sqrt