同济高数 第4章 第4-5-3题
📝 题目
3． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{\sqrt{5-4 x+x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 4x + x^{2}}}
$$
第一步：将二次式配方
观察分母根号内的二次式：
$$
5 - 4x + x^{2} = x^{2} - 4x + 5
$$
配方：
$$
x^{2} - 4x + 5 = (x^{2} - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^{2} + 1
$$
因此积分变为：
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{(x - 2)^{2} + 1}}
$$
第二步：使用标准积分公式
我们知道：
$$
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2} + a^{2}}} = \ln\left| u + \sqrt{u^{2} + a^{2}} \right| + C
$$
这里令 $u = x - 2$，$a = 1$，于是：
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{(x - 2)^{2} + 1}} = \ln\left| (x - 2) + \sqrt{(x - 2)^{2} + 1} \right| + C
$$
第三步：回代并写出最终结果
由于根号内恒正，绝对值可以去掉，结果为：
$$
\boxed{\ln\left( x - 2 + \sqrt{x^{2} - 4x + 5} \right) + C}
$$
难度评级：★☆☆☆☆
（仅需配方并套用标准积分公式，计算量小，属于基础题。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将二次式配方
观察分母根号内的二次式：5 - 4x + x^2 = x^2 - 4x + 5。配方：x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1。因此积分变为 ∫ dx / √[(x-2)^2 + 1]。
公式：x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1
提示：配方时注意常数项调整，确保完全平方正确。
步骤 2/3
目标：使用标准积分公式
令 u = x - 2，a = 1，则积分化为 ∫ du / √(u^2 + a^2)。根据标准公式 ∫ du / √(u^2 + a^2) = ln|u + √(u^2 + a^2)| + C，代入得 ln| (x-2) + √[(x-2)^2 + 1] | + C。
公式：∫ du / √(u^2 + a^2) = ln|u + √(u^2 + a^2)| + C
提示：注意公式中 a 是常数，此处 a=1。
步骤 3/3
目标：回代并写出最终结果
由于根号内 (x-2)^2 + 1 > 0，绝对值可去掉，且 √[(x-2)^2 + 1] = √(x^2 - 4x + 5)，因此结果为 ln(x - 2 + √(x^2 - 4x + 5)) + C。
提示：最终结果中根号内表达式与原始一致，注意符号。
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