同济高数 第4章 第4-5-5题
📝 题目
5． $\displaystyle{\int} \sqrt{3 x^{2}-2} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分
$$
\displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x.
$$
第一步：提取常数并化为标准形式
注意到
$$
\sqrt{3x^{2} - 2} = \sqrt{3} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}}.
$$
因此
$$
\displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{3} \displaystyle{\int} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \, \mathrm{d}x.
$$
第二步：使用积分公式
回忆公式
$$
\displaystyle{\int} \sqrt{x^{2} - a^{2}} \, \mathrm{d}x = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - a^{2}} - \frac{a^{2}}{2} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} \right| + C.
$$
这里令 $ a^{2} = \frac{2}{3} $，即 $ a = \sqrt{\frac{2}{3}} $。
第三步：代入公式
于是
$$
\displaystyle{\int} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \, \mathrm{d}x
= \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C
$$
$$
= \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C.
$$
**第四步：乘回常数 $\sqrt{3}$**
因此原积分为
$$
\displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x
= \sqrt{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| \right] + C.
$$
化简第一项：
$$
\sqrt{3} \cdot \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} = \frac{x}{2} \sqrt{3x^{2} - 2}.
$$
第二项：
$$
\sqrt{3} \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right|
= -\frac{\sqrt{3}}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C.
$$
最终结果
$$
\boxed{\displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x = \frac{x}{2} \sqrt{3x^{2} - 2} - \frac{\sqrt{3}}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C}.
$$
难度评级：★★☆☆☆
（属于常见二次根式积分，只需套用标准公式并稍作常数处理，步骤清晰，计算量不大。）