同济高数 第5章 第5-1-8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} 3 f(x) \mathrm{d} x=18, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=4, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} g(x) \mathrm{d} x=3$ ．求：
（1） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ；
（2） $\displaystyle{\int}_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ ；
（3） $\displaystyle{\int}_{3}^{-1} g(x) \mathrm{d} x$ ；
（4） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知条件：
$$
\int_{-1}^{1} 3 f(x) \, dx = 18,\quad
\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 4,\quad
\int_{-1}^{3} g(x) \, dx = 3.
$$
（1）求 $\displaystyle{\int_{-1}^{1} f(x) \, dx}$
由第一个条件：
$$
\int_{-1}^{1} 3 f(x) \, dx = 3 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 18
$$
因此
$$
\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{18}{3} = 6.
$$
（2）求 $\displaystyle{\int_{1}^{3} f(x) \, dx}$
由积分区间可加性：
$$
\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx
$$
代入已知：
$$
4 = 6 + \int_{1}^{3} f(x) \, dx
$$
所以
$$
\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4 - 6 = -2.
$$
（3）求 $\displaystyle{\int_{3}^{-1} g(x) \, dx}$
由积分上下限互换性质：
$$
\int_{3}^{-1} g(x) \, dx = -\int_{-1}^{3} g(x) \, dx = -3.
$$
（4）求 $\displaystyle{\int_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x) + 3 g(x)] \, dx}$
利用线性性质：
$$
\int_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x) + 3 g(x)] \, dx
= \frac{1}{5} \left[ 4 \int_{-1}^{3} f(x) \, dx + 3 \int_{-1}^{3} g(x) \, dx \right]
$$
代入已知：
$$
= \frac{1}{5} \left[ 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 \right]
= \frac{1}{5} (16 + 9) = \frac{25}{5} = 5.
$$
最终答案：
（1）$6$
（2）$-2$
（3）$-3$
（4）$5$
难度：★☆☆☆☆