同济高数 第5章 第5-1-*1题
📝 题目
＊1．利用定积分的定义计算由抛物线 $y=x^{2}+1$ 、两直线 $x=a 、 x=b(b\gt a)$ 及 $x$ 轴所围成的图形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们使用定积分的定义来计算该曲边梯形的面积。
由抛物线 $y = x^2 + 1$、直线 $x = a$、$x = b$（其中 $b > a$）以及 $x$ 轴所围成的图形面积，即函数 $f(x) = x^2 + 1$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分。
第一步：分割区间
将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个等长子区间，每个子区间长度为
$$
\Delta x = \frac{b-a}{n}.
$$
取分点为
$$
x_i = a + i \Delta x, \quad i = 0, 1, 2, \dots, n.
$$
第二步：近似求和（取右端点）
在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，取右端点 $x_i$ 的函数值作为矩形的高，则第 $i$ 个小矩形面积为
$$
f(x_i) \Delta x = \left( x_i^2 + 1 \right) \Delta x.
$$
于是面积近似为
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^2 + 1 \right) \Delta x.
$$
第三步：代入表达式并化简
由于 $x_i = a + i \frac{b-a}{n}$，代入得
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} \left[ \left( a + i \frac{b-a}{n} \right)^2 + 1 \right] \cdot \frac{b-a}{n}.
$$
展开平方项：
$$
\left( a + i \frac{b-a}{n} \right)^2 = a^2 + 2a \cdot i \frac{b-a}{n} + i^2 \frac{(b-a)^2}{n^2}.
$$
于是
$$
S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( a^2 + 1 + 2a \frac{b-a}{n} i + \frac{(b-a)^2}{n^2} i^2 \right).
$$
将求和拆开：
$$
S_n = \frac{b-a}{n} \left[ (a^2+1) \sum_{i=1}^{n} 1 + 2a \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} i + \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i^2 \right].
$$
利用求和公式：
$$
\sum_{i=1}^{n} 1 = n, \quad \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$
代入得
$$
S_n = \frac{b-a}{n} \left[ (a^2+1)n + 2a \frac{b-a}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right].
$$
化简：
$$
S_n = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 \cdot \frac{n+1}{n} + \frac{(b-a)^3}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}.
$$
第四步：取极限
面积定义为
$$
S = \lim_{n \to \infty} S_n.
$$
分别计算极限：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = 2.
$$
因此
$$
S = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 \cdot 1 + \frac{(b-a)^3}{6} \cdot 2.
$$
即
$$
S = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 + \frac{(b-a)^3}{3}.
$$
第五步：整理结果
将三项合并：
$$
S = (b-a)\left[ a^2+1 + a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{3} \right].
$$
展开括号内：
$$
a^2 + 1 + a b - a^2 + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{3} = 1 + ab + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{3}.
$$
通分：
$$
= \frac{3 + 3ab + b^2 - 2ab + a^2}{3} = \frac{a^2 + ab + b^2 + 3}{3}.
$$
所以最终面积为
$$
\boxed{S = \frac{b-a}{3} \left( a^2 + ab + b^2 + 3 \right)}.
$$
难度评级：★★☆☆☆
（主要考察定积分定义与极限求和，计算量适中，但思路清晰，无复杂技巧。）