同济高数 第5章 第5-2-5题
📝 题目
5．计算下列各导数：
（1）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$ ；
（2）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+t^{4}}}$ ；
（3）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们使用微积分基本定理（Leibniz法则）来求解含参变量积分的导数。
一般公式：
若
$$
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, dt
$$
则
$$
F'(x)=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x)
$$
---
（1）
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{2}} \,\mathrm{d} t
$$
这里 $a(x)=0$，$b(x)=x^{2}$，$f(t)=\sqrt{1+t^{2}}$。
则
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} = f(x^{2})\cdot 2x - f(0)\cdot 0
= \sqrt{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x
= 2x\sqrt{1+x^{4}}
$$
因此
$$
\boxed{2x\sqrt{1+x^{4}}}
$$
---
（2）
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1+t^{4}}}
$$
这里 $a(x)=x^{2}$，$b(x)=x^{3}$，$f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}$。
则
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}=f(x^{3})\cdot 3x^{2} - f(x^{2})\cdot 2x
= \frac{3x^{2}}{\sqrt{1+(x^{3})^{4}}} - \frac{2x}{\sqrt{1+(x^{2})^{4}}}
$$
化简指数：
$$
(x^{3})^{4}=x^{12},\quad (x^{2})^{4}=x^{8}
$$
所以
$$
\boxed{\frac{3x^{2}}{\sqrt{1+x^{12}}} - \frac{2x}{\sqrt{1+x^{8}}}}
$$
---
（3）
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos (\pi t^{2})\, \mathrm{d} t
$$
这里 $a(x)=\sin x$，$b(x)=\cos x$，$f(t)=\cos(\pi t^{2})$。
则
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}=f(\cos x)\cdot (-\sin x) - f(\sin x)\cdot (\cos x)
$$
注意 $\cos x$ 的导数是 $-\sin x$，$\sin x$ 的导数是 $\cos x$。
于是
$$
= \cos(\pi \cos^{2}x)\cdot (-\sin x) - \cos(\pi \sin^{2}x)\cdot (\cos x)
$$
$$
= -\sin x \cos(\pi \cos^{2}x) - \cos x \cos(\pi \sin^{2}x)
$$
因此
$$
\boxed{-\sin x \cos(\pi \cos^{2}x) - \cos x \cos(\pi \sin^{2}x)}
$$
---
难度评级：★★☆☆☆
（主要考察Leibniz公式的直接应用，计算量小，但需注意上下限的导数符号。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用Leibniz法则求导
对于积分上限和下限均为函数的变限积分，使用公式：
\(\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)\)
公式：\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)
提示：注意上下限求导时的符号：上限导数为正，下限导数为负。
步骤 2/4
目标：计算第(1)小题
令 \(a(x)=0\)，\(b(x)=x^2\)，\(f(t)=\sqrt{1+t^2}\)。则 \(b'(x)=2x\)，\(a'(x)=0\)。代入公式得：
\(\frac{d}{dx} = f(x^2) \cdot 2x - f(0) \cdot 0 = \sqrt{1+(x^2)^2} \cdot 2x = 2x\sqrt{1+x^4}\)
提示：注意 \(f(x^2)\) 中的自变量是 \(x^2\)，代入 \(f(t)=\sqrt{1+t^2}\) 得 \(\sqrt{1+(x^2)^2}\)。
步骤 3/4
目标：计算第(2)小题
令 \(a(x)=x^2\)，\(b(x)=x^3\)，\(f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}\)。则 \(b'(x)=3x^2\)，\(a'(x)=2x\)。代入公式得：
\(\frac{d}{dx} = f(x^3) \cdot 3x^2 - f(x^2) \cdot 2x = \frac{3x^2}{\sqrt{1+(x^3)^4}} - \frac{2x}{\sqrt{1+(x^2)^4}} = \frac{3x^2}{\sqrt{1+x^{12}}} - \frac{2x}{\sqrt{1+x^8}}\)
提示：注意指数运算：\((x^3)^4 = x^{12}\)，\((x^2)^4 = x^8\)。
步骤 4/4
目标：计算第(3)小题
令 \(a(x)=\sin x\)，\(b(x)=\cos x\)，\(f(t)=\cos(\pi t^2)\)。则 \(b'(x)=-\sin x\)，\(a'(x)=\cos x\)。代入公式得：
\(\frac{d}{dx} = f(\cos x) \cdot (-\sin x) - f(\sin x) \cdot (\cos x) = \cos(\pi \cos^2 x) \cdot (-\sin x) - \cos(\pi \sin^2 x) \cdot \cos x = -\sin x \cos(\pi \cos^2 x) - \cos x \cos(\pi \sin^2 x)\)
提示：注意 \(\cos x\) 的导数为 \(-\sin x\)，代入公式时不要遗漏负号。
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