同济高数 第6章 第6-2-18题
📝 题目
18．设有一截锥体，其高为 $h$ ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 $2 a, 2 b$ 和 $2 A, 2 B$ ，求这截锥体的体积．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们考虑用平行于底面的截面法（即积分法）求体积。将截锥体竖直放置，取顶点方向为 $z$ 轴，设下底在 $z=0$ 处，上底在 $z=h$ 处。
下底椭圆半轴为 $A, B$，上底椭圆半轴为 $a, b$。
由于是线性收缩（直截锥），在高度 $z$ 处的截面椭圆半轴长度随高度线性变化：
$$
\text{半长轴: } \quad A(z) = A + \frac{a - A}{h}z,
$$
$$
\text{半短轴: } \quad B(z) = B + \frac{b - B}{h}z.
$$
在高度 $z$ 处，截面椭圆的面积为
$$
S(z) = \pi\, A(z)\, B(z)
= \pi \left( A + \frac{a - A}{h}z \right) \left( B + \frac{b - B}{h}z \right).
$$
体积为
$$
V = \displaystyle{\int_{0}^{h}} S(z)\,dz
= \pi \displaystyle{\int_{0}^{h}} \left( A + \frac{a - A}{h}z \right) \left( B + \frac{b - B}{h}z \right) dz.
$$
展开被积函数：
$$
\left( A + \frac{a - A}{h}z \right)\left( B + \frac{b - B}{h}z \right)
= AB + \frac{A(b - B) + B(a - A)}{h}z + \frac{(a - A)(b - B)}{h^2}z^2.
$$
逐项积分：
$$
\displaystyle{\int_{0}^{h}} AB\,dz = AB\,h,
$$
$$
\displaystyle{\int_{0}^{h}} \frac{A(b - B) + B(a - A)}{h}z\,dz
= \frac{A(b - B) + B(a - A)}{h} \cdot \frac{h^2}{2}
= \frac{h}{2}\bigl[A(b - B) + B(a - A)\bigr],
$$
$$
\displaystyle{\int_{0}^{h}} \frac{(a - A)(b - B)}{h^2}z^2\,dz
= \frac{(a - A)(b - B)}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3}
= \frac{h}{3}(a - A)(b - B).
$$
因此
$$
V = \pi \left[ AB\,h + \frac{h}{2}\bigl(A(b - B) + B(a - A)\bigr) + \frac{h}{3}(a - A)(b - B) \right].
$$
提取公因子 $h$，并整理：
$$
V = \pi h \left[ AB + \frac{1}{2}(Ab - AB + aB - AB) + \frac{1}{3}(ab - aB - Ab + AB) \right].
$$
化简括号内：
先算 $\displaystyle \frac12$ 项：
$$
\frac12(Ab + aB - 2AB).
$$
再算 $\displaystyle \frac13$ 项：
$$
\frac13(ab - aB - Ab + AB).
$$
加上 $AB$ 后合并：
将各项分母统一为 6：
$$
AB = \frac{6AB}{6},\quad
\frac12(Ab + aB - 2AB) = \frac{3(Ab + aB - 2AB)}{6},\quad
\frac13(ab - aB - Ab + AB) = \frac{2(ab - aB - Ab + AB)}{6}.
$$
分子相加：
$$
6AB + 3Ab + 3aB - 6AB + 2ab - 2aB - 2Ab + 2AB
= (6AB - 6AB + 2AB) + (3Ab - 2Ab) + (3aB - 2aB) + 2ab
$$
$$
= 2AB + Ab + aB + 2ab.
$$
所以
$$
V = \pi h \cdot \frac{2AB + Ab + aB + 2ab}{6}
= \frac{\pi h}{6} \bigl( 2AB + Ab + aB + 2ab \bigr).
$$
可以写成对称形式：
$$
V = \frac{\pi h}{6} \bigl[ (2A + a)B + (A + 2a)b \bigr]
\quad\text{或}\quad
V = \frac{\pi h}{6} \bigl( 2AB + Ab + aB + 2ab \bigr).
$$
难度评级：★★☆☆☆
（思路直接，计算稍繁，但无复杂技巧，属于中低难度积分应用题）