同济高数 第6章 第6-2-30题

[AI解答]

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我们要求曲线 $\rho \theta = 1$ 在 $\frac{3}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{4}{3}$ 上的弧长。
极坐标下弧长公式为：
$$
s = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2} \, d\theta.
$$

由方程 $\rho \theta = 1$ 得：
$$
\rho = \frac{1}{\theta}.
$$
于是：
$$
\frac{d\rho}{d\theta} = -\frac{1}{\theta^2}.
$$

代入公式：
$$
\rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2 = \frac{1}{\theta^2} + \frac{1}{\theta^4} = \frac{\theta^2 + 1}{\theta^4}.
$$
因此：
$$
\sqrt{\rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2} = \frac{\sqrt{\theta^2 + 1}}{\theta^2}.
$$

弧长：
$$
s = \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{\sqrt{\theta^2 + 1}}{\theta^2} \, d\theta.
$$

令 $\theta = \tan t$，则 $d\theta = \sec^2 t \, dt$，且 $\sqrt{\theta^2+1} = \sec t$，积分限对应：
$$
\theta = \frac{3}{4} \Rightarrow t = \arctan\frac{3}{4}, \quad \theta = \frac{4}{3} \Rightarrow t = \arctan\frac{4}{3}.
$$
于是：
$$
s = \int_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}} \frac{\sec t}{\tan^2 t} \cdot \sec^2 t \, dt
= \int_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}} \frac{\sec^3 t}{\tan^2 t} \, dt.
$$

利用 $\sec^3 t / \tan^2 t = \frac{1}{\cos^3 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\cos t \sin^2 t}$，即：
$$
\frac{\sec^3 t}{\tan^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t \cos t}.
$$

所以：
$$
s = \int_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}} \frac{1}{\sin^2 t \cos t} \, dt.
$$

将 $\frac{1}{\sin^2 t \cos t}$ 化为：
$$
\frac{1}{\sin^2 t \cos t} = \frac{\cos t}{\sin^2 t} + \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{1}{\sin t}??
$$
更标准做法：
$$
\frac{1}{\sin^2 t \cos t} = \frac{\cos t}{\sin^2 t} + \frac{1}{\cos t}.
$$
验证：
$$
\frac{\cos t}{\sin^2 t} + \frac{1}{\cos t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin^2 t \cos t} = \frac{1}{\sin^2 t \cos t}.
$$
正确。

于是：
$$
s = \int \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt + \int \frac{1}{\cos t} \, dt.
$$

第一项：
$$
\int \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt = \int \frac{d(\sin t)}{\sin^2 t} = -\frac{1}{\sin t}.
$$

第二项：
$$
\int \frac{1}{\cos t} \, dt = \int \sec t \, dt = \ln |\sec t + \tan t|.
$$

因此：
$$
s = \left[ -\frac{1}{\sin t} + \ln |\sec t + \tan t| \right]_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}}.
$$

当 $t = \arctan\frac{3}{4}$ 时：
$$
\tan t = \frac{3}{4}, \quad \sin t = \frac{3}{5}, \quad \sec t = \frac{5}{4}.
$$
当 $t = \arctan\frac{4}{3}$ 时：
$$
\tan t = \frac{4}{3}, \quad \sin t = \frac{4}{5}, \quad \sec t = \frac{5}{3}.
$$

代入：
$$
s = \left( -\frac{1}{4/5} + \ln\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) \right) - \left( -\frac{1}{3/5} + \ln\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right) \right).
$$

计算：
$$
-\frac{5}{4} + \ln 3 - \left( -\frac{5}{3} + \ln 2 \right)
= -\frac{5}{4} + \ln 3 + \frac{5}{3} - \ln 2.
$$

合并常数：
$$
-\frac{5}{4} + \frac{5}{3} = \frac{-15 + 20}{12} = \frac{5}{12}.
$$

所以：
$$
s = \frac{5}{12} + \ln\frac{3}{2}.
$$

因此所求弧长为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{5}{12} + \ln\frac{3}{2}}.
$$

难度：★★★☆☆