第10章 广义积分

例 1 设质量为 \(m\) 的火箭从地面发射. 试求该火箭飞离地球引力范围所需做的功.

例 4 计算积分 \[ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x\;\left( {a > 0}\right) . \]

例 5 计算积分 \[ {\int }_{0}^{1}\ln x\mathrm{\;d}x \]

例 6 考察积分 \[ {\int }_{a}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}\;\left( {a > 0}\right) . \]

例 7 考察积分 \[ {\int }_{0}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}}. \]

解 因为 \[ \left| \frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\right| \leq \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{{x}^{\frac{3}{2}}}, \] 所以积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x}\) 绝对收敛.

解 因为 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2}\left( {{x}^{m}{\mathrm{e}}^{-x}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2 + m}{\mathrm{e}}^{-x} = 0, \] 所以积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{x}^{m}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x}\) 收敛.

解 因为 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{p} \cdot \frac{\arctan x}{{x}^{p}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\arctan x = \frac{\pi }{2}, \] 所以,对于 \(p > 1\) ,积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}\) 收敛; 对于 \(p \leq 1\) ,积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}\) 发散. 定理 1 只适用于判别积分是否绝对收敛. 为了判别条件收敛性, 我们需要另外一些法则. 定理 2 (狄利克雷判别法) 设函数 \(f\) 和 \(g\) 在区间 \(\lbrack a, + \infty )\) 上有定义,在其任何闭子区间 \(\left\lbrack {a,H}\right\rbrack\) 上常义可积. 如果 (1)存在 \(\Delta > a\) ,使得 \(f\) 在 \(\lbrack \Delta , + \infty )\) 上是单调的,并且 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0; \] (2)存在 \(K \geq 0\) ,使得 \[ \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq K,\;\forall H \geq a, \] 那么积分 \[ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x \] 收敛. 证明 对充分大的 \(H\) 和 \({H}^{\prime } > H\) ,我们来估计 \[ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . } \] 根据第二中值定理 \[ {\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( H\right) {\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x + f\left( {H}^{\prime }\right) {\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x. \] 于是 \[ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \left| {f\left( H\right) }\right| \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \] \[ + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . } \] 容易看到 \[ \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| = \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \] \[ \leq \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| + \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \] \[ \leq {2K}, \] 同样有 \[ \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}. \] 我们得到 \[ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) . \] 但 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0, \] 所以对任何 \(\varepsilon > 0\) ,存在 \({\Delta }^{\prime } \geq \Delta\) ,使得只要 \[ {H}^{\prime } > H > {\Delta }^{\prime }, \] 就有 \[ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) < \varepsilon . \] 这证明了积分 \[ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x \] 的收敛性. 定理 3 (阿贝尔判别法) 设函数 \(f\) 和 \(g\) 在区间 \(\lbrack a, + \infty )\) 上有定义,在其任何闭子区间 \(\left\lbrack {a,H}\right\rbrack\) 上常义可积. 如果 ( 1 )存在 \(\Delta > a\) ,使得 \(f\) 在 \(\lbrack \Delta , + \infty )\) 上单调并且有界； (2) 积分 \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x\) 收敛, 那么积分 \[ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x \] 也收敛. 证明 因为函数 \(f\) 在 \(\displaystyle{\left\lbrack {\Delta , + \infty }\right\rbrack}\) 单调并且有界,所以存在有穷极限 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l \] 于是 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left( {f\left( x\right) - l}\right) = 0. \] 根据狄利克雷判别法 (定理 2), 我们断定积分 \[ {\int }_{a}^{+\infty }\left( {f\left( x\right) - l}\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x \] 收敛. 再利用积分 \[ {\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x \] 的收敛性, 即可断定积分 \[ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x \] 收敛. 注记 定理 3 也可根据收敛原理直接证明(用第二中值定理估 计),请读者自己练习.

例 4 考察积分 \[ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x \] 判断这积分是否收敛, 是否绝对收敛.

解 该积分既是无穷限积分, 在 0 点又有一个瑕点. 要判断它的收敛性, 应分别考察以下两个积分是否收敛: \[ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x,\;{\int }_{0}^{1}\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x. \] 我们已知道前一积分是绝对收敛的 (见本节上一段中的

解 因为 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - }}{\left( 1 - x\right) }^{0}\left| \frac{\ln x}{1 - {x}^{2}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - }}\frac{-\ln x}{1 - {x}^{2}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - }}\frac{\frac{1}{x}}{2x} = \frac{1}{2}, \] \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}{x}^{\frac{1}{2}}\left| \frac{\ln x}{1 - {x}^{2}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{-{x}^{\frac{1}{2}}\ln x}{1 - {x}^{2}} = 0, \] 所以积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\ln x}{1 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) 是绝对收敛的.

例 7 考察积分 \[ \mathrm{B}\left( {\alpha ,\beta }\right) = {\int }_{0}^{1}{x}^{\alpha - 1}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1}\mathrm{\;d}x \] 的收敛性,其中 \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) .

例 8 考察积分 \[ \Gamma \left( p\right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{p - 1}\mathrm{\;d}x \] 的收敛性.

解 对于 \(0 < p < 1\) ,因为 \(\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \leq \frac{1}{{x}^{p}}\) ,所以这时积分 \[ {\int }_{0}^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x \] 绝对收敛. 对于 \(1 \leq p < 2\) ,因为函数 \(f\left( x\right) = {x}^{2 - p}\) 当 \(x \rightarrow 0 +\) 时单调趋于 0, 而函数 \(g\left( x\right) = \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\) 满足 \[ \left| {{\int }_{\eta }^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| \leq \left| {\cos 1 - \cos \frac{1}{\eta }}\right| \leq 2, \] 所以积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}{x}^{2 - p}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) 收敛. 我们指出,对这种情形,绝对值的积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \mathrm{d}x}\) 是发散的. 容易验证 \[ \left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \geq \frac{{\sin }^{2}\frac{1}{x}}{{x}^{p}} = \frac{1}{2{x}^{p}} - \frac{\cos \frac{2}{x}}{2{x}^{p}}. \] 通过与上面所述的相类似的讨论, 可以说明: 对这种情形 (即 \(1 \leq p < 2\) 的情形),积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\cos \frac{2}{x}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}\) 收敛. 又容易看出,积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{2{x}^{p}}}\) 是发散的. 这样, 我们证明了积分 \[ {\int }_{0}^{1}\left( {\frac{1}{2{x}^{p}} - \frac{\cos \frac{2}{x}}{2{x}^{p}}}\right) \mathrm{d}x \] 是发散的. 因而积分 \[ {\int }_{0}^{1}\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \mathrm{d}x \] 也是发散的. 最后来考察 \(p = 2\) 的情形. 因为 \[ {\int }_{\eta }^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \cos 1 - \cos \frac{1}{\eta }, \] 当 \(\eta \rightarrow 0 +\) 时上式无极限,所以积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) 发散. \part{第四篇多元微积分}