新讲 第10章 广义积分 第3题
📝 题目
解 因为
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{p} \cdot \frac{\arctan x}{{x}^{p}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\arctan x = \frac{\pi }{2},
$$
所以,对于 $p > 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛; 对于 $p \leq 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 发散.
定理 1 只适用于判别积分是否绝对收敛. 为了判别条件收敛性, 我们需要另外一些法则.
定理 2 (狄利克雷判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果
(1)存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上是单调的,并且
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0;
$$
(2)存在 $K \geq 0$ ,使得
$$
\left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq K,\;\forall H \geq a,
$$
那么积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
收敛.
证明 对充分大的 $H$ 和 ${H}^{\prime } > H$ ,我们来估计
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . }
$$
根据第二中值定理
$$
{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( H\right) {\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x + f\left( {H}^{\prime }\right) {\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
$$
于是
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \left| {f\left( H\right) }\right| \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
$$
$$
+ \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . }
$$
容易看到
$$
\left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| = \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
$$
$$
\leq \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| + \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
$$
$$
\leq {2K},
$$
同样有
$$
\left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}.
$$
我们得到
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) .
$$
但
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0,
$$
所以对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 ${\Delta }^{\prime } \geq \Delta$ ,使得只要
$$
{H}^{\prime } > H > {\Delta }^{\prime },
$$
就有
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) < \varepsilon .
$$
这证明了积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
的收敛性.
定理 3 (阿贝尔判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果
( 1 )存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上单调并且有界；
(2) 积分 $\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x$ 收敛,
那么积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
也收敛.
证明 因为函数 $f$ 在 $\displaystyle{\left\lbrack {\Delta , + \infty }\right\rbrack}$ 单调并且有界,所以存在有穷极限
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l
$$
于是
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left( {f\left( x\right) - l}\right) = 0.
$$
根据狄利克雷判别法 (定理 2), 我们断定积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }\left( {f\left( x\right) - l}\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
收敛. 再利用积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
的收敛性, 即可断定积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
收敛.
注记 定理 3 也可根据收敛原理直接证明(用第二中值定理估
计),请读者自己练习.
💡 答案解析
解 因为
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{p} \cdot \frac{\arctan x}{{x}^{p}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\arctan x = \frac{\pi }{2},
$$
所以,对于 $p > 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛; 对于 $p \leq 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 发散.
定理 1 只适用于判别积分是否绝对收敛. 为了判别条件收敛性, 我们需要另外一些法则.
定理 2 (狄利克雷判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果
(1)存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上是单调的,并且
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0;
$$
(2)存在 $K \geq 0$ ,使得
$$
\left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq K,\;\forall H \geq a,
$$
那么积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
收敛.
证明 对充分大的 $H$ 和 ${H}^{\prime } > H$ ,我们来估计
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . }
$$
根据第二中值定理
$$
{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( H\right) {\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x + f\left( {H}^{\prime }\right) {\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
$$
于是
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \left| {f\left( H\right) }\right| \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
$$
$$
+ \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . }
$$
容易看到
$$
\left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| = \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
$$
$$
\leq \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| + \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
$$
$$
\leq {2K},
$$
同样有
$$
\left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}.
$$
我们得到
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) .
$$
但
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0,
$$
所以对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 ${\Delta }^{\prime } \geq \Delta$ ,使得只要
$$
{H}^{\prime } > H > {\Delta }^{\prime },
$$
就有
$$
\left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) < \varepsilon .
$$
这证明了积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
的收敛性.
定理 3 (阿贝尔判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果
( 1 )存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上单调并且有界；
(2) 积分 $\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x$ 收敛,
那么积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
也收敛.
证明 因为函数 $f$ 在 $\displaystyle{\left\lbrack {\Delta , + \infty }\right\rbrack}$ 单调并且有界,所以存在有穷极限
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l
$$
于是
$$
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left( {f\left( x\right) - l}\right) = 0.
$$
根据狄利克雷判别法 (定理 2), 我们断定积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }\left( {f\left( x\right) - l}\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
收敛. 再利用积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
的收敛性, 即可断定积分
$$
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
$$
收敛.
注记 定理 3 也可根据收敛原理直接证明(用第二中值定理估
计),请读者自己练习.