第3章 连续函数

例 3 在第二章 §5 中,我们还证明了 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\sin x = \sin {x}_{0} \] \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\cos x = \cos {x}_{0}. \] 由此容易得到 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\tan x = \tan {x}_{0}\;\left( {{x}_{0} \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right) , \] \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\cot x = \cot {x}_{0}\;\left( {{x}_{0} \neq {l\pi }}\right) . \] 因而基本三角函数在它们有定义的地方都是连续的. 以下一些结果很容易从关于极限的相应结果导出. 定理 1 设函数 \(f\) 在 \({x}_{0}\) 点连续,则存在 \(\delta > 0\) ,使得函数 \(f\) 在 \(U\left( {{x}_{0},\delta }\right)\) 上有界. 定理 2 设函数 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点连续,则 (1) \(f\left( x\right) \pm g\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 处连续; (2) \(f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 处连续; (3) \(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\) 在使得 \(g\left( {x}_{0}\right) \neq 0\) 的 \({x}_{0}\) 处连续. 注记 因为常值函数 \(f\left( x\right) \equiv c\) 在任意 \({x}_{0}\) 点连续,所以从 (2) 可以得到: (4) \({cg}\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点连续. 定理 3 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点连续,则函数 \(\left| {f\left( x\right) }\right|\) 也在 \({x}_{0}\) 点连续.

例 1 设函数 \(f\) 在闭区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 连续并且满足 \(f\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right) \subset\) \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) (这就是说: \(f\left( x\right) \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ). 试证明存在 \(c \in\) \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,使得 \[ f\left( c\right) = c, \] (这样的点 \(c\) 称为 \(f\) 的一个不动点. 本例说明:把 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 映入 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 之中的连续函数必定有不动点. 这是著名的布劳威尔 (Brouwer) 不动点定理的一个特殊情形. )

例 2 考察方程 \({x}^{3} - {2x} - 5 = 0\) . 我们记 \[ f\left( x\right) = {x}^{3} - {2x} - 5. \] 因为 \[ f\left( 2\right) = - 1 < 0 < f\left( 3\right) = {16}, \] 所以方程 \(f\left( x\right) = 0\) 在(2,3)中有一个根. 我们用对分区间法求此根的近似值, 得到如下的结果: 我们取根的近似值 \[ \widetilde{c} = \frac{{2.09375} + {2.109375}}{2} = {2.1015625}. \] \begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|} \hline 判别 \(f\left( {a}_{k}\right) < 0 < f\left( {b}_{k}\right)\) & 确定根的范围 \(\left( {{a}_{k},{b}_{k}}\right)\) \\ \cline{1-2} \(f\left( 2\right) < 0 < f\left( 3\right)\) & (2,3) \\ \cline{1-2} \(f\left( 2\right) < 0 < f\left( {2.5}\right)\) & (2,2.5) \\ \cline{1-2} \(f\left( 2\right) < 0 < f\left( {2.25}\right)\) & (2,2.25) \\ \cline{1-2} \(f\left( 2\right) < 0 < f\left( {2.125}\right)\) & (2,2.125) \\ \cline{1-2} \(f\left( {2.0625}\right) < 0 < f\left( {2.125}\right)\) & (2.0625,2.125) \\ \cline{1-2} \(f\left( {2.09375}\right) < 0 < f\left( {2.125}\right)\) & (2.09375, 2.125) \\ \cline{1-2} \(f\left( {2.09375}\right) < 0 < f\left( {2.109375}\right)\) & (2.09375, 2.109375) \\ \cline{1-2} \hline \end{tabular} } \end{center} 误差的界为 \[ \left| {\widetilde{c} - c}\right| \leq \frac{1}{{2}^{7}} = \frac{1}{128} = {0.0078125}. \] 以下的介值定理是定理 1 的推广. 定理 2 (介值定理) 设函数 \(f\) 在闭区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 连续. 如果在这闭区间的两端点的函数值 \(f\left( a\right) = \alpha\) 与 \(f\left( b\right) = \beta\) 不相等,那么在这两点之间函数 \(f\) 能够取得介于 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 之间的任意值 \(\gamma\) . 这就是说,如果 \(f\left( a\right) < \gamma < f\left( b\right)\) (或者 \(f\left( a\right) > \gamma > f\left( b\right)\) ),那么存在 \(c \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \[ f\left( c\right) = \gamma . \]

例 4 函数 \(g\left( x\right) = \sin x/x\) 在开区间(0,1)上连续,它在该开区间上是有界的: \[ \left| {g\left( x\right) }\right| \leq 1,\;\forall x \in \left( {0,1}\right) . \] 定理 4 (最大值与最小值定理) 设函数 \(f\) 在闭区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续, 记 \[ M = \mathop{\sup }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}f\left( x\right) ,\;m = \mathop{\inf }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}f\left( x\right) , \] 则存在 \({x}^{\prime },{x}^{\prime \prime } \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,使得 \[ f\left( {x}^{\prime }\right) = M,\;f\left( {x}^{\prime \prime }\right) = m. \]

例 6 考察 \(E = \mathbb{R},g\left( x\right) = {x}^{2}\) 的情形. 对于给定的 \(\varepsilon > 0\) ,不论 \(\delta\) 是怎样小的一个正数,总存在这样一点 \[ {x}_{0} = \frac{2\varepsilon }{\delta } \] 和邻近 \({x}_{0}\) 的另一点 \[ {x}_{1} = \frac{2\varepsilon }{\delta } + \frac{\delta }{2}, \] 使得 \[ \left| {{x}_{1} - {x}_{0}}\right| = \delta /2 < \delta , \] \[ \left| {g\left( {x}_{1}\right) - g\left( {x}_{0}\right) }\right| = \left( {{x}_{1} + {x}_{0}}\right) \left( {{x}_{1} - {x}_{0}}\right) \] \[ > \left( {\frac{2\varepsilon }{\delta } + \frac{2\varepsilon }{\delta }}\right) \frac{\delta }{2} = {2\varepsilon }. \] 这就是说,不存在适用于所有的 \({x}_{0}\) 的 \(\delta > 0\) . 如果 \(E = \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 是一个闭区间,那么对前述问题的回答就是肯定的了. 本段就来证明这一重要事实. 先介绍必要的术语. 定义 设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}\) 的一个子集,函数 \(f\) 在 \(E\) 上有定义. 如果对任意 \(\varepsilon > 0\) ,存在 \(\delta > 0\) ,使得只要 \[ {x}_{1},{x}_{2} \in E,\;\left| {{x}_{1} - {x}_{2}}\right| < \delta , \] 就有 \[ \left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| < \varepsilon , \] 那么我们就说函数 \(f\) 在集合 \(E\) 上是一致连续的. 定理 5 (一致连续性定理) 如果函数 \(f\) 在闭区间 \(I = \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,那么它在 \(I\) 上是一致连续的.

例 1 考察函数 \[ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. \] 我们看到函数 \(f\) 把区间 \(I = \left\lbrack {-\eta ,\eta }\right\rbrack \left( {\eta > 0}\right)\) 映成区间 \(J = \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) , 但 \(f\) 并不连续. 但是, 对于一类比较特殊的函数——单调函数, 定理 1 的逆命题是成立的. 定理 2 设函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上单调. 则 \(f\) 在 \(I\) 连续的充要条件为: \(f\left( I\right)\) 也是一个区间.

例 10 设 \(f\left( x\right) = {x}^{\nu }\left( {\nu > 0}\right) ,g\left( x\right) = {\log }_{a}x\left( {a > 1}\right)\) . 我们指出 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\log }_{a}x}{{x}^{v}} = 0. \] 这说明对数函数 \({\log }_{a}x\) 是比任何幂函数 \({x}^{\nu }\) 更低阶的无穷大量. 事实上,令 \(y = {\log }_{a}x\) ,则有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\log }_{a}x}{{x}^{v}} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}\frac{y}{{\left( {a}^{v}\right) }^{y}} = 0. \] 我们对符号 \(O,o\) 的用法做一点说明. 记号 \(O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)\) (或者 \(o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) )\) 不是表示一个具体的量,而是表示量的一种类型. 式子 \(\psi \left( x\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)\) 表示 \(\psi \left( x\right)\) 是属于 \(O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)\) 这种类型的一个量. 式中的等号“ \(=\) ”应该当作属于符号“ \(\in\) ”来理解. 而式子 \(O\left( {\varphi \left( x\right) }\right) =\) \(\psi \left( x\right)\) 就没有明确的意义. 因此,涉及符号 \(O\) 或 \(o\) 的 “等式”,不能像通常的等式那样将其左右两边交换. 定理 1 设 \(\varphi \left( x\right)\) 和 \(\psi \left( x\right)\) 在 \(a\) 点的某个去心邻域 \(\check{U}\left( a\right)\) 上有定 义, \(\varphi \left( x\right) \neq 0\) . 则有 \[ \psi \left( x\right) \sim \varphi \left( x\right) \Leftrightarrow \psi \left( x\right) = \varphi \left( x\right) + o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) . \]

例 7 . II . \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} \] 我们来证明 II. 首先, 根据定义有 \[ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} = \mathrm{e} \] 由此可得 \[ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n + 1} = \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} \cdot \lim \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathrm{e} \] \[ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n} = \frac{\lim {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n + 1}}{\lim \left( {1 + \frac{1}{n + 1}}\right) } = \mathrm{e} \] 于是,对任意 \(\varepsilon > 0\) ,存在 \(N \in \mathbb{N}\) ,使得 \(n > N\) 时有 \[ \mathrm{e} - \varepsilon < {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n} < {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n + 1} < \mathrm{e} + \varepsilon . \] 取 \(\Delta = N + 1\) ,则当 \(x > \Delta\) 时就有 \(\left\lbrack x\right\rbrack > N\) ,因而有 \[ \mathrm{e} - \varepsilon < {\left( 1 + \frac{1}{\left\lbrack x\right\rbrack + 1}\right) }^{\left\lbrack x\right\rbrack } < {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} \] \[ < {\left( 1 + \frac{1}{\left\lbrack x\right\rbrack }\right) }^{\left\lbrack x\right\rbrack + 1} < \mathrm{e} + \varepsilon . \] 这证明了 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} \] 由此又可得到 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 - \frac{1}{y}\right) }^{-y} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( \frac{y}{y - 1}\right) }^{y} \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{y - 1}\right) }^{y} \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{y - 1}\right) }^{y - 1}\left( {1 + \frac{1}{y - 1}}\right) = \mathrm{e}. \] 我们证明了 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} \] 因而有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} \] II 的另一种表述为: II \({}^{\prime }\) . \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}{\left( 1 + \alpha \right) }^{1/\alpha } = \mathrm{e} \] 利用对数函数的连续性, 我们得到 \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{\ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\ln {\left( 1 + \alpha \right) }^{1/\alpha } = \ln \mathrm{e} = 1. \] 类似地有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\log }_{b}\left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = {\log }_{b}\mathrm{e} = \frac{1}{\ln b}. \] 这样, 我们证明了: \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{\ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = 1, \] III . \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\log }_{b}\left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = \frac{1}{\ln b}. \] 由此又可得到 IV. \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha } - 1}{\alpha } = 1. \] 事实上,令 \(\beta = {\mathrm{e}}^{a} - 1\) ,我们得到 \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha } - 1}{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\beta \rightarrow 0}}\frac{\beta }{\ln \left( {1 + \beta }\right) } = 1. \] 类似地有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0}}\frac{{b}^{a} - 1}{a} = \ln b. \] 最后, 我们有 V. \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + \alpha \right) }^{\mu } - 1}{\alpha } = \mu . \] 事实上 \[ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + \alpha \right) }^{\mu } - 1}{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } - 1}{\alpha } \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } - 1}{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } \cdot \frac{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } \] \[ = \mu \text{ . } \] 从上面的讨论, 我们得到涉及某些初等函数的量阶的一些公式. 这些公式在求某些极限时很有用处. 定理 3 对于极限过程 \(x \rightarrow 0\) ,我们有: (1) \(\sin x = x + o\left( x\right) ,\tan x = x + o\left( x\right)\) ; (2) \(\cos x = 1 - \frac{1}{2}{x}^{2} + o\left( {x}^{2}\right)\) ; (3) \({\mathrm{e}}^{x} = 1 + x + o\left( x\right)\) ; (4) \(\ln \left( {1 + x}\right) = x + o\left( x\right)\) ; (5) \({\left( 1 + x\right) }^{\mu } = 1 + {\mu x} + o\left( x\right)\) .