第4章 导 数

例 2 设 \(m \in \mathbb{N}\) ,试求函数 \(f\left( x\right) = {x}^{m}\) 的导数.

例 3 设 \(m \in \mathbb{N}\) ,试求函数 \(f\left( x\right) = {x}^{-m}\left( {x \neq 0}\right)\) 的导数.

例 4 求幂函数 \(f\left( x\right) = {x}^{\mu }\left( {x > 0}\right)\) 的导数 \((\mu \in \mathbb{Z}\) 的情形已见于例 1,2,3. 这里讨论 \(\mu \in \mathbb{R}\) 的一般的情形).

例 5 求函数 \(f\left( x\right) = \sin x\) 的导数.

例 6 求函数 \(f\left( x\right) = \cos x\) 的导数.

例 7 求函数 \(f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}\) 和 \(g\left( x\right) = {a}^{x}\left( {a > 0}\right)\) 的导数.

例 8 求函数 \(f\left( x\right) = \ln x\) 和 \(g\left( x\right) = {\log }_{a}x\) 的导数 \(\left( {x > 0}\right)\) .

例 10 考察函数 \(f\left( x\right) = \left| x\right|\) 在 \(x = 0\) 处是否可导 (见图 4-2).

例 11 考察函数 \(g\left( x\right)\) 在 \(x = 0\) 处是否可导,这里 \[ g\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x\sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. \]

例 2 中,为了考察函数 \(p\left( x\right) = {x}^{m}\) 在 \(x\) 点的可导性,我们将函数的增量 \[ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) \] 按 \(h\) 的方幂展开: \[ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) \] \[ = m{x}^{m - 1}h + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2}{x}^{m - 2}{h}^{2} + \cdots + {h}^{m}. \] 其实,为了考察可导性,并不需要了解 \(h\) 的高次项的具体的形式,仅仅需要这样的信息: 它们是一些高于一次的项, 即 \[ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) = m{x}^{m - 1}h + o\left( h\right) . \] 由此可得 \[ \frac{p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) }{h} = m{x}^{m - 1} + \frac{o\left( h\right) }{h}, \] 让 \(h \rightarrow 0\) 即得到 \[ {p}^{\prime }\left( x\right) = m{x}^{m - 1}. \] 定义 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(x\) 点邻近有定义,如果 \[ f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) = {Ah} + o\left( h\right) , \] 其中 \(A\) 与 \(h\) 无关 (可以依赖于 \(x\) ),那么我们就说函数 \(f\) 在 \(x\) 点可微. 定理 3 函数 \(f\) 在 \(x\) 点可导的充要条件是它在这点可微.

例 1 求函数 \(f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}\sin x\) 的导数.

例 2 求函数 \(\tan x\) 和 \(\cot x\) 的导数.

例 3 求函数 \({\mathrm{e}}^{-x}\) 的导数.

例 5 考察函数 \[ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {x}^{2}\sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. \] 我们看到,函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(x = 0\) 处可导, \[ {f}^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {0 + h}\right) - f\left( 0\right) }{h} \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}h\sin \frac{1}{h} = 0. \] 但在 0 点的任意邻近,仍有 \(x = \frac{1}{n\pi }\) ( \(n\) 是绝对值充分大的整数) 使得 \(f\left( x\right) = f\left( 0\right)\) . 虽说如此, 上面的分析仍给我们有益的启发. 其实只要把上面的表示方式稍做改变, 就能得到正确的证明. 定理 2 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可导,函数 \(g\left( y\right)\) 在 \({y}_{0} = f\left( {x}_{0}\right)\) 点可导,则复合函数 \(\varphi \left( x\right) = g \circ f\left( x\right)\) 也在 \({x}_{0}\) 点可导,并且 \[ {\varphi }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) . \]

例 6 求 \({\left( \sin ax\right) }^{\prime },{\left( \tan bx\right) }^{\prime }\) 和 \({\left( {\mathrm{e}}^{cx}\right) }^{\prime }\) .

例 7 求 \({\left( \cos \left( x + b\right) \right) }^{\prime }\) 和 \({\left( \ln \left( x + c\right) \right) }^{\prime }\) .

例 8 求 \({\left( \sin {x}^{2}\right) }^{\prime }\) 和 \({\left( {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\right) }^{\prime }\) .

例 9 试求函数 \(\ln \left| x\right| \left( {x \neq 0}\right)\) 和函数 \(\ln \left| {x + c}\right| \left( {x \neq - c}\right)\) 的导数.

例 10 求 \({\left( \ln \left| \frac{x - a}{x + a}\right| \right) }^{\prime }\) .

例 11 求 \({\left( {\mathrm{e}}^{\sin \left( {{x}^{2} + c}\right) }\right) }^{\prime }\) .

例 12 求 \({\left( \ln \left| \sin {x}^{2}\right| \right) }^{\prime }\) .

例 13 求 \({\left( \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) }^{\prime }\) .

例 14 求 \({\left( \ln \left( x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) \right) }^{\prime }\) .

例 15 试求幂-指数式 \({\left( u\left( x\right) \right) }^{v\left( x\right) }\) 的导数,这里 \(u\left( x\right) > 0\) ,函数 \(u\) 和 \(v\) 在 \(x\) 点可导.

例 17 求 \(\psi \left( y\right) = \arcsin y\) 的导数.

例 18 求 \(\psi \left( y\right) = \arccos y\) 的导数.

例 19 求 \(\psi \left( y\right) = \arctan y\) 的导数.

例 20 考察由极坐标方程给出的曲线 \[ r = r\left( \theta \right) \text{ . } \] 试求这曲线在某点 \(\left( {r,\theta }\right)\) 的切线.

例 21 求由以下条件确定的隐函数 \(y = y\left( x\right)\) 的导数: \[ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\; - 1 < x < 1,y > 0. \]

例 23 设 \(y = {x}^{a}\) ,求 \({y}^{\left( n\right) }\) .

例 24 设 \(y = {\mathrm{e}}^{\beta x}\) ,求 \({y}^{\left( n\right) }\) .

例 25 设 \(y = \ln \left( {1 + x}\right)\) ,求 \({y}^{\left( n\right) }\) .

例 26 设 \(y = \sin x\) ,求 \({y}^{\left( n\right) }\) .

例 1 设函数 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上有二阶导数. 如果 \[ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, \] 那么 \[ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}x + {C}_{1}. \]

例 2 设函数 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上有 \(n + 1\) 阶导数. 如果 \[ {f}^{\left( n + 1\right) }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, \] 那么 \[ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}{x}^{n} + {C}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {C}_{n}. \]

例 3 设有两种均匀介质 \(\mathrm{I}\) 和 \(\mathrm{{II}}\) ,光在介质 \(\mathrm{I}\) 中的速度是 \({c}_{1}\) ,光在介质 \(\mathrm{{II}}\) 中的速度是 \({c}_{2}\) ,两种介质的分界面是平面. 如果有一束光从介质 \(\mathrm{I}\) 中的 \({A}_{1}\) 点到介质 \(\mathrm{{II}}\) 中的 \({A}_{2}\) 点,那么这束光走怎样的路线?