第6章 定积分

例 1 常值函数 \(f\left( x\right) \equiv C\) 在任何区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上可积,并且 \[ {\int }_{a}^{b}C\mathrm{\;d}x = C\left( {b - a}\right) . \] 事实上,对于 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 的任意分割 \(P\) 和相应于这分割的任意标志点组 \(\xi\) ,都有 \[ \sigma \left( {C,P,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{C\Delta }{x}_{i} = C\left( {b - a}\right) . \] 利用关于序列极限的运算法则,立即可以得到: 定理 1 (积分的线性性质) 设函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上可积, \(\lambda \in \mathbb{R}\) ,则函数 \(f + g\) 和函数 \({\lambda f}\) 也都在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上可积,并且 \[ {\int }_{a}^{b}\left( {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x, \] \[ {\int }_{a}^{b}{\lambda f}\left( x\right) \mathrm{d}x = \lambda {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x. \]

例 4 求极限 \[ \lim \left( {\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n}}\right) . \]

例 5 求极限 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left( {\frac{n}{{n}^{2} + {1}^{2}} + \frac{n}{{n}^{2} + {2}^{2}} + \cdots + \frac{n}{2{n}^{2}}}\right) \]

例 6 求极限 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{1}^{p} + {2}^{p} + \cdots + {n}^{p}}{{n}^{p + 1}},\;p > 0. \]

解 如果求出 \(\sqrt{1 - {x}^{2}}\) 的原函数 \[ \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{x}{2}\sqrt{1 - {x}^{2}}, \] 再利用牛顿-莱布尼茨公式, 就可得到 \[ {\int }_{0}^{1}\sqrt{1 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {\left. \left( \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{x}{2}\sqrt{1 - {x}^{2}}\right) \right| }_{0}^{1} = \frac{\pi }{4}. \] 如果用换元法计算该积分,则可令 \(x = \sin t\) ,于是 \[ {\int }_{0}^{1}\sqrt{1 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\pi /2}{\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t \] \[ = {\int }_{0}^{\pi /2}\frac{1 + \cos {2t}}{2}\mathrm{\;d}t \] \[ = {\left. \frac{1}{2}\left( t + \frac{\sin {2t}}{2}\right) \right| }_{0}^{\pi /2} = \frac{\pi }{4}. \]

解 用分部积分法得 \[ {\int }_{0}^{\pi }x\sin x\mathrm{\;d}x = - {\left. x\cos x\right| }_{0}^{\pi } + {\int }_{0}^{\pi }\cos x\mathrm{\;d}x = \pi . \]

例 1 求椭圆 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\) 所围成的面积.

例 2 求抛物线 \({y}^{2} = {2x}\) 与直线 \(x - y = 4\) 所围图形的面积.

例 3 求双纽线 \({r}^{2} = {a}^{2}\cos {2\theta }\) 所围成的图形的面积 \(\left( {a > 0}\right)\) .

例 4 求心形线 \(r = a\left( {1 + \cos \theta }\right)\) 所围成的图形的面积.

例 5 设正劈锥体的底是半径为 \(R\) 的圆面,顶棱是平行于底圆直径的线段,高为 \(H\) ,试求该正劈锥体的体积 (图 6-6). \begin{center} <img src=\"/static/img/math_analysis/024.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\"> \end{center} \hspace*{3em} 图 6-6

例 6 试求把弹簧拉长 \(a\) 个长度单位所需做的功.

例 7 设水渠闸门的形状是一个底为 \(a\) 、高为 \(h\) 的倒置的等腰三角形 (图 6-7). 求该闸门所承受的最大压力. \begin{center} <img src=\"/static/img/math_analysis/025.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\"> \end{center} \hspace*{3em} 图 6-7