方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.6题
📝 题目
6. 8 证明: 场 $\mathbf{F} = {yz}\left( {{2x} + y + z}\right) \mathbf{i} + {xz}\left( {x + {2y} + z}\right) \mathbf{j} + {xy}\left( {x + y + {2z}}\right) \mathbf{k}$ 是保守场, 并求势函数.
💡 答案解析
解答步骤
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1. 判断保守场的条件
向量场
$$
\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}
$$
其中
$$
P = yz(2x + y + z),\quad Q = xz(x + 2y + z),\quad R = xy(x + y + 2z).
$$
保守场的充要条件是旋度为零，即
$$
\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}.
$$
这等价于三个条件：
$$
\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z},\quad
\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x},\quad
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}.
$$
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2. 验证旋度为零
先计算各偏导数。
**计算 $\displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}$**
$$
R = xy(x + y + 2z) = x^2y + xy^2 + 2xyz
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial R}{\partial y} = x^2 + 2xy + 2xz.
$$
$$
Q = xz(x + 2y + z) = x^2z + 2xyz + xz^2
$$
对 $z$ 求偏导：
$$
\frac{\partial Q}{\partial z} = x^2 + 2xy + 2xz.
$$
所以
$$
\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}.
$$
**计算 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}$**
$$
P = yz(2x + y + z) = 2xyz + y^2z + yz^2
$$
对 $z$ 求偏导：
$$
\frac{\partial P}{\partial z} = 2xy + y^2 + 2yz.
$$
对 $R$ 关于 $x$ 求偏导：
$$
R = x^2y + xy^2 + 2xyz
$$
$$
\frac{\partial R}{\partial x} = 2xy + y^2 + 2yz.
$$
所以
$$
\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}.
$$
**计算 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}$**
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2xz + 2yz + z^2.
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = 2xz + 2yz + z^2.
$$
所以
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}.
$$
三个条件均成立，故 $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$，场是保守场。
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3. 求势函数
设势函数为 $f(x,y,z)$，满足
$$
\nabla f = \mathbf{F},
$$
即
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = yz(2x + y + z),\quad
\frac{\partial f}{\partial y} = xz(x + 2y + z),\quad
\frac{\partial f}{\partial z} = xy(x + y + 2z).
$$
**第一步：对 $x$ 积分**
由第一个方程：
$$
f(x,y,z) = \int yz(2x + y + z)\,dx = yz \int (2x + y + z)\,dx.
$$
积分得：
$$
f = yz\left( x^2 + (y+z)x \right) + C(y,z).
$$
即
$$
f = x^2 yz + x y^2 z + x y z^2 + C(y,z).
$$
**第二步：对 $y$ 求偏导并与第二个方程比较**
对 $f$ 关于 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 z + 2x y z + x z^2 + \frac{\partial C}{\partial y}.
$$
第二个方程要求：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = xz(x + 2y + z) = x^2 z + 2x y z + x z^2.
$$
对比得：
$$
\frac{\partial C}{\partial y} = 0 \quad\Rightarrow\quad C(y,z) = D(z).
$$
**第三步：对 $z$ 求偏导并与第三个方程比较**
此时
$$
f = x^2 yz + x y^2 z + x y z^2 + D(z).
$$
对 $z$ 求偏导：
$$
\frac{\partial f}{\partial z} = x^2 y + x y^2 + 2x y z + D'(z).
$$
第三个方程要求：
$$
\frac{\partial f}{\partial z} = xy(x + y + 2z) = x^2 y + x y^2 + 2x y z.
$$
对比得：
$$
D'(z) = 0 \quad\Rightarrow\quad D(z) = \text{常数}.
$$
因此势函数为
$$
f(x,y,z) = x^2 yz + x y^2 z + x y z^2 + C,
$$
其中 $C$ 为任意常数。
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4. 结论
场 $\mathbf{F}$ 是保守场，其势函数为
$$
\boxed{f(x,y,z) = xyz(x + y + z) + C}.
$$
（因为 $x^2 yz + x y^2 z + x y z^2 = xyz(x+y+z)$。）