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设函数 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，则 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-2 f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}-\Delta x\right)}{(\Delta x)^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
（1）证明：对 $\displaystyle x>0, x-\frac{1}{3} x^{3}<\arctan x<x$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{\alpha}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．
sㅓㄴㅐst．
设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有定义，$f(x) \neq 0$ ，且满足
$f(x)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t \tan \frac{x}{t}\left[g\left(a x+\frac{x}{t}\right)-g(a x)\right]}{a-\arctan \frac{t}{x}}$,
其中函数 $g(x)$ 可导，且 $\displaystyle \arctan \frac{1}{x}$ 是 $g(x)$ 的一个原函数。
（1）求参数 $a$ 的值；
（2）计算 $\displaystyle \int_{\frac{2}{x}}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．
设 $\displaystyle a>0, f(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x$ ．判断 $f^{\prime}(1)$ 是否存在，若存在，试求其值。
计算积分 $\displaystyle I=\oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} y \mathrm{~d} z}{x}+\frac{\mathrm{d} z \mathrm{~d} x}{y}+\frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧．
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设 $f(x), g(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=4 \mathrm{e}^{x}-f(x)$ ，且 $f(0)=g(0)=0$ ，求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{x}{2}}\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$$ $\_\_\_\_$ ．$
设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
则随机变量 $Z=X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ 应为 $\_\_\_\_$。
设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\ln (1+x)} t f(t) \mathrm{d} t}{\left[\int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \mathrm{d} t\right]^{2}}=$
$\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}},-\infty<x<+\infty$ ，令 $Y=\mathrm{e}^{x}$ ．
（1）求 $X$ 的分布函数 $F_{X}(x)$ ；
（2）求 $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（3）$Y$ 的期望是否存在？
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leqslant x<1, \\ 2 x, & 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array} S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n \pi x}{2}\right.$ ，其中 $\displaystyle b_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \sin \frac{n \pi x}{2} \mathrm{~d} x$ ，则 $S(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{3}+1^{2}}+\frac{2 n}{n^{3}+2^{2}}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
下列反常积分发散的是
（A） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ．
（B） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1} \mathrm{~d} x$ ．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．$ $\_\_\_\_$ ．$
关于反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(\ln x)^{m}\left(1+x^{n}\right)}(m>0, n>0)$ ，下列命题中，正确的是
（A）若该积分发散，则必有 $0<m<1,0<n<1$ ．
（B）若该积分收敛，则必有 $0<m<1, n>1$ ．
（C）若该积分发散，则必有 $m \geqslant 1,0<n<1$ ．
（D）若该积分收敛，则必有 $m \geqslant 1, n>1$ ．
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $f(0)=0$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x^{2}}{f(x) \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}=3$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
（A）不连续．
（B）连续但不可导．
（C）可导且 $f^{\prime}(0)=2$ ．
（D）可导且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处
（A）极限存在但不连续．
（B）连续但不可导．
（C）可导．
（D）是否可导与 $a$ 的取值有关．
定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）
第 13 题
第13题
设函数 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，则 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-2 f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}-\Delta x\right)}{(\Delta x)^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 132 题
第132题
（1）证明：对 $\displaystyle x>0, x-\frac{1}{3} x^{3}<\arctan x<x$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
第 135 题
第135题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{\alpha}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．
sㅓㄴㅐst．
第 143 题
第143题
设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．
第 147 题
第147题
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有定义，$f(x) \neq 0$ ，且满足
$f(x)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t \tan \frac{x}{t}\left[g\left(a x+\frac{x}{t}\right)-g(a x)\right]}{a-\arctan \frac{t}{x}}$,
其中函数 $g(x)$ 可导，且 $\displaystyle \arctan \frac{1}{x}$ 是 $g(x)$ 的一个原函数。
（1）求参数 $a$ 的值；
（2）计算 $\displaystyle \int_{\frac{2}{x}}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
第 148 题
第148题
设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．
第 150 题
第150题
设 $\displaystyle a>0, f(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x$ ．判断 $f^{\prime}(1)$ 是否存在，若存在，试求其值。
第 166 题
第166题
计算积分 $\displaystyle I=\oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} y \mathrm{~d} z}{x}+\frac{\mathrm{d} z \mathrm{~d} x}{y}+\frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧．
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第 175 题
第175题
设 $f(x), g(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=4 \mathrm{e}^{x}-f(x)$ ，且 $f(0)=g(0)=0$ ，求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{x}{2}}\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
第 2 题
第2题
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$$ $\_\_\_\_$ ．$
第 264 题
第264题
设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
则随机变量 $Z=X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ 应为 $\_\_\_\_$。
第 3 题
第3题
设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\ln (1+x)} t f(t) \mathrm{d} t}{\left[\int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \mathrm{d} t\right]^{2}}=$
$\_\_\_\_$ ．
第 320 题
第320题
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}},-\infty<x<+\infty$ ，令 $Y=\mathrm{e}^{x}$ ．
（1）求 $X$ 的分布函数 $F_{X}(x)$ ；
（2）求 $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（3）$Y$ 的期望是否存在？
第 54 题
第54题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leqslant x<1, \\ 2 x, & 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array} S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n \pi x}{2}\right.$ ，其中 $\displaystyle b_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \sin \frac{n \pi x}{2} \mathrm{~d} x$ ，则 $S(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
第8题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{3}+1^{2}}+\frac{2 n}{n^{3}+2^{2}}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 89 题
第89题
下列反常积分发散的是
（A） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ．
（B） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1} \mathrm{~d} x$ ．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
第 9 题
第9题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．$ $\_\_\_\_$ ．$
第 90 题
第90题
关于反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(\ln x)^{m}\left(1+x^{n}\right)}(m>0, n>0)$ ，下列命题中，正确的是
（A）若该积分发散，则必有 $0<m<1,0<n<1$ ．
（B）若该积分收敛，则必有 $0<m<1, n>1$ ．
（C）若该积分发散，则必有 $m \geqslant 1,0<n<1$ ．
（D）若该积分收敛，则必有 $m \geqslant 1, n>1$ ．
第 93 题
第93题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $f(0)=0$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x^{2}}{f(x) \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}=3$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
（A）不连续．
（B）连续但不可导．
（C）可导且 $f^{\prime}(0)=2$ ．
（D）可导且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ．
第 94 题
第94题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处
（A）极限存在但不连续．
（B）连续但不可导．
（C）可导．
（D）是否可导与 $a$ 的取值有关．