kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第264题
📝 题目
第264题
设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
则随机变量 $Z=X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ 应为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
好的，我们先一步步分析题目中的条件，然后求出 Z = X - Y 的概率密度函数。题目中给的概率密度函数是常数1，但定义域比较特殊，我们先画出这个区域。
第一步：确定区域范围
条件为：
$$
0 \le y \le x \le 2 - y
$$
这可以拆成两部分：
- 下界：y ≥ 0，且 x ≥ y
- 上界：x ≤ 2 - y，同时隐含 y ≤ 2 - y，即 y ≤ 1。
所以 y 的范围是 0 ≤ y ≤ 1。
当 y 固定时，x 的范围是从 y 到 2-y。
区域形状：
- 当 y=0 时，x 从 0 到 2
- 当 y=1 时，x 从 1 到 1（一个点）
所以这是一个三角形区域，顶点为 (0,0)、(2,0)、(1,1)。
第二步：引入新变量
我们要求 Z = X - Y，令另一个变量比如 W = Y（或者 X），方便做变量变换。
令：
$$
Z = X - Y, \quad W = Y
$$
则反变换为：
$$
X = Z + W, \quad Y = W
$$
雅可比行列式：
$$
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = 1
$$
第三步：确定新变量的取值范围
原区域条件：
1. $0 \le y \le 1$ → $0 \le w \le 1$
2. $y \le x \le 2-y$ 变成：
- 左边：$w \le z + w$ → $0 \le z$，即 $z \ge 0$
- 右边：$z + w \le 2 - w$ → $z \le 2 - 2w$
所以对于固定的 z，w 必须满足：
$$
0 \le w \le 1, \quad z \ge 0, \quad w \le 1 - \frac{z}{2}
$$
同时 w 也要 ≥ 0，所以 w 的上限是 $\min(1, 1 - z/2)$。
由于 z ≥ 0，当 z > 2 时，1 - z/2 < 0，此时没有 w 满足条件，所以 z 的范围是 0 ≤ z ≤ 2。
第四步：求边缘密度
联合密度在变换后仍是常数1（因为雅可比为1，原密度为1），所以：
$$
f_{Z,W}(z,w) = 1, \quad 在区域内
$$
对 w 积分得到 Z 的密度：
- 当 0 ≤ z ≤ 2 时，w 从 0 到 $1 - z/2$
所以：
$$
f_Z(z) = \int_0^{1 - z/2} 1 \, dw = 1 - \frac{z}{2}
$$
第五步：写出最终结果
因此：
$$
f_Z(z) =
\begin{cases}
1 - \frac{z}{2}, & 0 \le z \le 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
最终答案：
$$
\boxed{f_Z(z)=\begin{cases}1-\dfrac{z}{2},&0\leq z\leq 2\\0,&\text{其他}\end{cases}}
$$
这样就完成了整个推导过程。