kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第263题
📝 题目
第263题
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$a$ 为大于 2 的常数，已知 $P\{X \leqslant a \mid X>2\}= 1-\mathrm{e}^{-2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
好的，我们先一步步分析这个条件概率问题，题目中给的条件很明确，我们按步骤来解。
第一步：写出已知条件
指数分布参数为 2，即其概率密度函数为
$$
f_X(x) = 2e^{-2x}, \quad x \ge 0
$$
分布函数为
$$
F_X(x) = 1 - e^{-2x}, \quad x \ge 0
$$
已知条件为
$$
P\{X \le a \mid X > 2\} = 1 - e^{-2}
$$
第二步：条件概率公式转化
由条件概率定义：
$$
P\{X \le a \mid X > 2\} = \frac{P\{2 < X \le a\}}{P\{X > 2\}}
$$
注意这里要求 $a > 2$，所以区间有意义。
分母：
$$
P\{X > 2\} = 1 - F_X(2) = 1 - (1 - e^{-4}) = e^{-4}
$$
分子：
$$
P\{2 < X \le a\} = F_X(a) - F_X(2) = (1 - e^{-2a}) - (1 - e^{-4}) = e^{-4} - e^{-2a}
$$
第三步：代入条件
于是条件概率为
$$
\frac{e^{-4} - e^{-2a}}{e^{-4}} = 1 - e^{-2a + 4}
$$
题目说它等于 $1 - e^{-2}$，因此
$$
1 - e^{-2a + 4} = 1 - e^{-2}
$$
第四步：解方程
两边消去 1，得到
$$
- e^{-2a + 4} = - e^{-2}
$$
即
$$
e^{-2a + 4} = e^{-2}
$$
所以指数相等：
$$
-2a + 4 = -2
$$
解得
$$
-2a = -6 \quad\Rightarrow\quad a = 3
$$
第五步：最终答案
$$
\boxed{3}
$$
这个题主要考察指数分布的无记忆性以及条件概率公式，计算量很小，熟练的话一分钟内可以完成。