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设球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant z$ 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 $z$ 坐标为 $\_\_\_\_$。
6．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \ln x, & x>0, \\ x^{2}+x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x(a<b)$ 取得最小值，则 $(a, b)=$ ．
（A）$(-1,1)$
（B）$(-1,2)$
（C）$(0,1)$
（D）$(1,2)$
6．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的偶函数，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，令 $F(x)= \int_{0}^{x} \sin (x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 一定为 () 。
（A）偶函数
（B）奇函数
（C）以 $\pi$ 为最小正周期的周期函数
（D）以 $2 \pi$ 为最小正周期的周期函数
6． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{4 x-3}{x^{2}-x+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
6．已知 $f(x)$ 是连续的偶函数，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2$ ，则 $\int_{0}^{2} x f(1-x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
6．设平面$D$ 由曲线段 $y=\sin \pi x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $x$ 轴围成，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
6．过坐标原点作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的切线，该切线与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 以及 $x$ 轴围成的向 $x$ 轴负向无限伸展的图形记为 $D$ 。
（1）求 $D$ 的面积；
（2）求 $D$ 绕直线 $x=1$ 旋转一周所成的旋转体体积．
6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{4}}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi$ ．
6．设有一个内表面为旋转抛物面的容器，其深为 $a$ 米，容器口直径为 $2 a$ 米，若以每秒 $Q$ 立方米的速率往容器内注水，求：
（1）容器的容积及内表面的面积；
（2）当容器中水深为 $\displaystyle \frac{1}{2} a$ 米时，水面上升的速率．
6．$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} x$（其中 $f(x, y)$ 连续），交换积分次序得 ．
（A）$I=\int_{0}^{\ln y} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\mathrm{c}} f(x, y) \mathrm{d} y$
（B）$I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{0} f(x, y) \mathrm{d} y$
（C）$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} y$
（D）$I=\int_{c^{\prime}}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$
6．微分方程 $x+y y^{\prime}=y-x y^{\prime}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
6．设平面曲线 $L: f(x, y)=1$ 过第一象限的点 $A$ 和第三象限的点 $B, f(x, y)$ 有一阶连续偏导数， $\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $A$ 到点 $B$ 的一段弧，设
I_{1}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s, I_{3}=\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y
则（ ）。
（A）$I_{1}>I_{3}>I_{2}$
（B）$I_{2}>I_{3}>I_{1}$
（C）$I_{3}>I_{1}>I_{2}$
（D）$I_{3}>I_{2}>I_{1}$
6．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布，则 $X$ 落在数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 之间的概率为 $\_\_\_\_$。
6．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在$D=\left\{(x, y) \mid 0<x<1, x^{2}<y<\sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布，令 $U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y . \\ 0, & X>Y .\end{cases}$
（1）当出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）$U$ 与 $X$ 是否相互独立？说明理由；
（3）求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ 。
I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$
$\_\_\_\_$。
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
原函数与不定积分的概念
第 599 题
第599题
设球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant z$ 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 $z$ 坐标为 $\_\_\_\_$。
第 6 题
【基础篇】第6题（选择题）
6．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \ln x, & x>0, \\ x^{2}+x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x(a<b)$ 取得最小值，则 $(a, b)=$ ．
（A）$(-1,1)$
（B）$(-1,2)$
（C）$(0,1)$
（D）$(1,2)$
第 6 题
【强化篇】第6题（选择题）
6．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的偶函数，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，令 $F(x)= \int_{0}^{x} \sin (x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 一定为 () 。
（A）偶函数
（B）奇函数
（C）以 $\pi$ 为最小正周期的周期函数
（D）以 $2 \pi$ 为最小正周期的周期函数
第 6 题
【基础篇】第6题（填空题）
6． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{4 x-3}{x^{2}-x+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 6 题
【强化篇】第6题（填空题）
6．已知 $f(x)$ 是连续的偶函数，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2$ ，则 $\int_{0}^{2} x f(1-x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 6 题
【基础篇】第6题（填空题）
6．设平面$D$ 由曲线段 $y=\sin \pi x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $x$ 轴围成，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
第 6 题
【强化篇】第6题（解答题）
6．过坐标原点作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的切线，该切线与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 以及 $x$ 轴围成的向 $x$ 轴负向无限伸展的图形记为 $D$ 。
（1）求 $D$ 的面积；
（2）求 $D$ 绕直线 $x=1$ 旋转一周所成的旋转体体积．
第 6 题
【基础篇】第6题（解答题）
6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{4}}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi$ ．
第 6 题
【基础篇】第6题（解答题）
6．设有一个内表面为旋转抛物面的容器，其深为 $a$ 米，容器口直径为 $2 a$ 米，若以每秒 $Q$ 立方米的速率往容器内注水，求：
（1）容器的容积及内表面的面积；
（2）当容器中水深为 $\displaystyle \frac{1}{2} a$ 米时，水面上升的速率．
第 6 题
【基础篇】第6题（选择题）
6．$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} x$（其中 $f(x, y)$ 连续），交换积分次序得 ．
（A）$I=\int_{0}^{\ln y} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\mathrm{c}} f(x, y) \mathrm{d} y$
（B）$I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{0} f(x, y) \mathrm{d} y$
（C）$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} y$
（D）$I=\int_{c^{\prime}}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$
第 6 题
【强化篇】第6题（填空题）
6．微分方程 $x+y y^{\prime}=y-x y^{\prime}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
第 6 题
【基础篇】第6题（选择题）
6．设平面曲线 $L: f(x, y)=1$ 过第一象限的点 $A$ 和第三象限的点 $B, f(x, y)$ 有一阶连续偏导数， $\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $A$ 到点 $B$ 的一段弧，设
I_{1}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s, I_{3}=\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y
则（ ）。
（A）$I_{1}>I_{3}>I_{2}$
（B）$I_{2}>I_{3}>I_{1}$
（C）$I_{3}>I_{1}>I_{2}$
（D）$I_{3}>I_{2}>I_{1}$
第 6 题
【基础篇】第6题（填空题）
6．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布，则 $X$ 落在数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 之间的概率为 $\_\_\_\_$。
第 6 题
【强化篇】第6题（解答题）
6．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在$D=\left\{(x, y) \mid 0<x<1, x^{2}<y<\sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布，令 $U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y . \\ 0, & X>Y .\end{cases}$
（1）当出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）$U$ 与 $X$ 是否相互独立？说明理由；
（3）求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ 。
第 60 题
第60题
I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 60 题
## 第60题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 61 题
第61题
设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$
$\_\_\_\_$。
第 61 题
## 第61题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$
$\_\_\_\_$。
设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$
$\_\_\_\_$。
第 610 题
第610题
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 610 题
## 第610题 (高等数学 - 填空题)
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．