kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
【强化篇】第6题（解答题）
6．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在$D=\left\{(x, y) \mid 0Y .\end{cases}$
（1）当出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）$U$ 与 $X$ 是否相互独立？说明理由；
（3）求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ 。
（1）当出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）$U$ 与 $X$ 是否相互独立？说明理由；
（3）求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ 。
💡 答案解析
答案：
（1）$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S}, & (x,y)\in D \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，其中$\displaystyle S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{1}{3}$，故$f(x,y)=3$
（2）不独立
（3）$\displaystyle F_Z(z)=\begin{cases}0, & z<0 \\ \frac{3}{2}z^2, & 0\leqslant z<1 \\ 1-\frac{3}{2}(2-z)^2, & 1\leqslant z<2 \\ 1, & z\geqslant2\end{cases}$
解析：
步骤1：区域$D$面积$\displaystyle S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}$，故联合密度$f(x,y)=3$。
步骤2：$U=1$当$X\leqslant Y$，即$y\geqslant x$，在$D$内对应区域；$U=0$当$X>Y$。计算边缘分布可判断不独立。
步骤3：$Z=U+X$，取值范围$[0,2]$，通过积分求分布函数。
难度：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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