三角级数、三角函数系的正交性

第100题

设 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{4}, f(x)=\frac{\tan x}{x}, g(x)=\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{2}, h(x)=\frac{\tan x^{2}}{x^{2}}$ ，以下结论正确的是
（A）$f(x)>g(x)>h(x)$ ．
（B）$h(x)>g(x)>f(x)$ ．
（C）$g(x)>f(x)>h(x)$ ．
（D）$f(x)>h(x)>g(x)$ ．

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第106题

$f(x)=-$\cos \pi x+(2 x-3)^{3}+\frac{1}{2}(x-1)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的零点个数$
（A）正好有 1 个．
（B）正好有 2 个．
（C）正好有 3 个．
（D）至少有 4 个．

第158题

微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\cos ^{2} x$ 的特解形式为（其中 $a, b, c$ 为任意常数）
（A）$a \cos ^{2} x$.
（B）$a \sin ^{2} x$ ．
（C）$x(a+b \cos 2 x+c \sin 2 x)$ ．
（D）$a+x(b \cos 2 x+c \sin 2 x)$ ．

建设签题时问

第167题

已知 $y_{1}=x^{2} \mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{2 x}(3 \cos 3 x-2 \sin 3 x)$ 是某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则最小的 $n$ 为
（A） 3 ．
（B） 4 ．
（C） 5 ．
（D） 6 ．

第168题

具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=5 \cos x$ 的 4 阶常系数齐次线性微分方程是
（A）$y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ．
（B）$y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ．
（C）$y^{(4)}+y=0$ ．
（D）$y^{(4)}-y=0$ ．

第184题

证明：在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上存在三个不同的点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使得

$\displaystyle \left[\mathrm{e}^{-x_{1}}\left(\cos x_{1}-\sin x_{1}\right)\right] x_{3}=\left[\mathrm{e}^{-x_{2}}\left(\cos x_{2}-\sin x_{2}\right)\right]\left(\frac{\pi}{2}-x_{3}\right) .$

第187题

证明：当 $0<x<1$ 时，$\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}<\frac{\ln (1+x)}{\arcsin x}$ ．

第211题

已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ，求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．

第221题

利用代换 $\displaystyle y=\frac{u}{\cos x}$ 将方程

y^{\prime \prime} \cos x-2 y^{\prime} \sin x+3 y \cos x=\mathrm{e}^{x}

化简，并求出原方程的通解．

第223题

求 $y^{\prime \prime}+a^{2} y=\sin x$ 的通解，其中常数 $a>0$ ．

第226题

设 $\displaystyle x=\tan t, y=u \sec t\left(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}, u\right.$ 为 $t$ 的二阶可导函数），变换方程 $\displaystyle \left(1+x^{2}\right)^{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=y$ ，并求此方程满足 $\displaystyle \left.y\right|_{x=0}=0,\left.\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=1$ 的特解．

第228题

函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$的反函数．
（1）试将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^{3}=0$ 变换为 $y=y(x)$ 所满足的微分方程．
（2）求变换后的微分方程满足初始条件 $\displaystyle y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ 的解．

第25题

设曲线 $L$ 的参数方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x(t)=\ln \tan \frac{t}{2}+\cos t, \\ y(t)=\sin t,\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \frac{\pi}{2}<t<\pi$ ，则曲线上一点 $M$处的切线与 $x$ 轴的交点 $P$ 与点 $M$ 之间的距离为 $\_\_\_\_$ ．

第27题

曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$ 上对应于 $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$ 点处的曲率 $k=$ $\_\_\_\_$ ．